作为经常和多项式打交道的人，我会从这几个角度逐步推导，完全不用依赖CAS工具：

1. 先抓系数的对称性和规律 #

首先看( P(x) )的系数序列：( [1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1] )。这是个对称序列——从1递增到中间的6，再递减回1。这种系数模式在多项式的幂次展开或乘积里非常常见，先记下来这个特征。

2. 回忆多项式平方的系数计算规则 #

对于任意多项式( A(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n )，它的平方( A(x)^2 )中( x^k )项的系数是( \sum_{i=0}^k a_i a_{k-i} )（如果( k-i > n )，那( a_{k-i}=0 )）。

如果( A(x) )是等比数列多项式（也就是( a_0=a_1=...=a_n=1 )，即( A(x)=1+x+x^2+...+xn )），那它平方后的系数规律特别清晰：

• 当( 0 \leq k \leq n )时，系数是( k+1 )（因为有( k+1 )对( (i, k-i) )满足( i \leq n )且( k-i \leq n )，每对的乘积都是1×1=1）
• 当( n < k \leq 2n )时，系数是( 2n+1 - k )（此时( k-i > n )的情况开始出现，有效配对数是( n - (k - n) + 1 = 2n -k +1 )）

现在对比( P(x) )的系数：

• ( x^0 )到( x^5 )的系数是1到6，正好对应( k+1 )（这里n=5，k从0到5，( k+1 )就是1到6）
• ( x^6 )到( x^{10} )的系数是5到1，正好对应( 2×5+1 -k = 11 -k )（比如k=6时，11-6=5；k=10时，11-10=1）

完全匹配！这就直接指向( P(x) = (1+x+x^2+x3+x^4+x5)^2 )。

3. 用组合意义直观验证（可选） #

从组合的角度看，( (1+x+x^2+...+x5)^2 )可以理解为：两个独立的选择，每个选择是0到5之间的整数，它们的和为k的方式数。比如：

• 要得到( x^k )，就是找所有满足( i+j=k )的非负整数对( (i,j) )，其中( i \leq5 )，( j \leq5 )
• 当k≤5时，i可以取0到k，j对应k到0，共k+1种方式，对应系数k+1
• 当k>5时，i最小取k-5（因为j=k-i ≤5 → i≥k-5），最大取5，共( 5 - (k-5) +1=11 -k )种方式，对应系数11 -k

这和( P(x) )的系数完全一致，从另一个角度确认了等式成立。

4. 用求和公式代数推导（严谨性补充） #

我们知道等比多项式的求和公式：( 1+x+x^2+...+x5 = \frac{x^6 -1}{x-1} )（x≠1），那么它的平方就是：
[
\left( \frac{x^6 -1}{x-1} \right)^2 = \frac{(x^6 -1)^2}{(x-1)2} = \frac{x^{12} - 2x^6 +1}{(x-1)^2}
]

反过来计算( P(x) )的求和形式：( P(x) = \sum_{i=0}^5 \sum_{j=0}^5 x^{i+j} )，这其实就是把两个等比多项式相乘展开的逆过程——把原本的多项式拆成两个相同等比多项式的乘积，自然就能得到平方形式。

总结一下，核心就是先观察系数的对称递增/递减模式，再结合多项式平方的系数规则或者组合意义，就能快速看出这个化简关系。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者actinidia