嘿，这个问题我帮不少人梳理过，不用三角函数完全能搞定，咱们用基础的几何面积关系来拆解：

首先明确场景：假设我们有一个矩形，通过内部线段（比如内部一点连接四个顶点，或一条对角线加一条顶点到对边的线段）分割成四个三角形，已知其中三个面积为3、4、5，要求阴影部分的面积。

核心思路：利用矩形内的面积等量关系 #

这里有个关键结论，能直接避开复杂方程组的坑：矩形内任意一点连接四个顶点时，对角的两个三角形面积之和等于矩形面积的一半。
为啥？因为对角的两个三角形，各自以矩形的一组对边为底，它们的高加起来刚好等于矩形的另一条边。比如△AOB和△COD的面积和，就是(1/2)*AB*(O到AB的距离) + (1/2)*CD*(O到CD的距离)，而AB=CD，两个距离之和等于矩形的宽，所以总和就是矩形面积的一半。

分情况计算阴影面积 #

根据已知三个面积的位置，我们可以快速算出阴影面积：

• 如果3和5是对角三角形，那么矩形面积的一半就是3+5=8，阴影面积就是8-4=4；
• 如果3和4是对角三角形，矩形面积的一半是3+4=7，阴影面积就是7-5=2；
• 如果4和5是对角三角形（这也是最常见的经典题场景），矩形面积的一半是4+5=9，阴影面积就是9-3=6。

避开你之前的方程组错误 #

你提到构建方程组时出错，大概率是单独拆分某条边的线段导致变量混乱。不如换个思路：把矩形的长和宽作为整体，结合「对角面积和为矩形一半」的关系列等式，比如设矩形面积为S，若4和5是对角，则：

4 + 5 = S/2 → S = 18
阴影面积 = S/2 - 3 = 9 - 3 = 6

这种方法不用纠结单条边的分段，完全靠面积等量关系推导，不会出错。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Trobeli