嘿，先帮你理清一个关键概念：R³本身是平坦的欧几里得空间（高斯曲率为0），如果是R³里的平面凸三角形，它的内角和严格等于180°。你提到的「正曲率、内角和大于180°」的情况，应该是指R³中凸曲面（比如球面）上的三角形（也就是球面三角形）——这类三角形所在的曲面具有正高斯曲率，才会有内角和超过π（180°）的性质。下面给你几种不同的证明思路：

方法1：高斯-博内定理（标准微分几何方法） #

高斯-博内定理是曲面几何里的核心定理之一，对于曲面S上由简单闭曲线C围成的区域D，有：

∫∫_D K dA + ∫_C k_g ds + Σ(π - α_i) = 2π

其中：

• K是曲面的高斯曲率，
• k_g是曲线C的测地曲率，
• α_i是区域D的内角，
• Σ是对所有内角求和。

对于球面三角形：

• 三条边都是测地线（球面上的大圆），测地曲率k_g=0；
• 球面的高斯曲率K=1/R²（单位球的话K=1，R为球半径）；
• 代入定理后，左边的面积积分∫∫_D K dA就是球面三角形的面积A（单位球上A就是立体角）。

整理公式可得：

A + 3π - Σα_i = 2π ⇒ Σα_i = π + A

因为球面三角形的面积A>0，所以内角和Σα_i > π（180°），直接得证。

方法2：向量与立体角法（直观代数方法） #

以单位球为例，设球面三角形的三个顶点为单位向量a、b、c：

• 球面三角形的内角α（在顶点a处），是两条大圆切线的夹角，而切线分别垂直于a，所以α等于向量(b×a)和(c×a)的夹角；
• 利用向量点积公式和恒等式展开，可以推导出球面三角形的余弦定理：cosα = (cos a - cos b cos c)/(sin b sin c)（其中a、b、c是对应边的弧长，即球心角）；
• 从立体角的角度看，球面三角形对应的立体角Ω = Σα_i - π，而单位球上立体角的数值等于三角形的面积，Ω>0，因此Σα_i = π + Ω > π。

方法3：立体几何三面角法（初等几何思路） #

把球面三角形的三个顶点和球心连接，形成一个三面角：

• 三面角的三个面角，就是球面三角形三条边对应的球心角；
• 球面三角形的内角，恰好等于三面角的三个二面角；
• 根据立体几何的结论：凸三面角的三个二面角之和大于π（180°）且小于3π（540°），直接得出球面三角形的内角和大于180°。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jhn.S