嘿，咱们一步步拆解这两个拓扑学问题，用具体例子把道理讲明白：

问题1：分离且互不相交的闭集与开集的并集是否为开集？ #

答案是不一定，绝大多数情况下都不是开集。咱们拿欧氏拓扑下的实数集$\mathbb{R}$举个直观的例子：

• 取闭集$A=[0,1]$，开集$B=(2,3)$，这两个集合互不相交，而且是分离的（$A$的闭包就是自身$[0,1]$，$B$的闭包是$[2,3]$，两者没有交集）。
• 它们的并集是$[0,1] \cup (2,3)$，这个集合显然不是开集：比如点$0$，你找不到任何一个开区间（$\mathbb{R}$里的开邻域）完全包含在这个并集里；同理点$1$也是一样的情况。

只有当闭集是空集这个特例下，闭集与开集的并集才等于开集本身，但这不是普遍情况。

问题2：闭集A与真开子集B（互不相交且分离）的并集属于哪种情况？ #

答案是无法判定，结果完全取决于具体的拓扑类型，咱们用几个不同拓扑的例子验证：

例子1：欧氏拓扑$\mathbb{R}$ #

• 设$A=[2,3]$（闭集），$B=(0,1)$（真开子集），两者互不相交且分离（闭包无交集）。它们的并集是$(0,1) \cup [2,3]$，这个集合既不开也不闭：
  • 不是开集：点$2$的任何开邻域都会包含$(2-\epsilon, 2+\epsilon)$，其中一部分落在$(1,2)$里，不在并集中；
  • 不是闭集：点$1$是并集的聚点（任何邻域都和$B$相交），但$1$不在并集里。

例子2：离散拓扑 #

假设$X={a,b,c}$，离散拓扑下所有子集既是开集也是闭集：

• 取$A={a}$（闭集），$B={b}$（真开子集），两者互不相交且分离，它们的并集${a,b}$既开又闭。

例子3：Sierpiński拓扑 #

设$X={0,1}$，开集为$\emptyset, {0}, X$，闭集为$\emptyset, {1}, X$：

• 取$A={1}$（闭集），$B={0}$（真开子集），两者互不相交且分离，它们的并集是$X$，既开又闭。

特例：极端情况 #

如果$A=\emptyset$（闭集），那么$A \cup B = B$，就是开集；如果$B=\emptyset$（$X$非空时的真开子集），$A \cup B = A$，就是闭集。

所以总结下来，结果没有固定结论，完全要看你使用的拓扑结构。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dior DNA