咱们先明确问题背景：给定概率空间$([0,1], \mathcal B([0,1]), \lambda)$，其中$\lambda$是Lebesgue测度，$\mathcal B([0,1])$是$[0,1]$上的Borel集族；典范随机变量$X(\omega)=\omega$；$\mathcal F=\sigma([0,1/2])$，$\mathcal G=\sigma(\mathcal B[0,1/2])$。接下来我们一步步拆解计算。

1. 先搞清楚两个σ-代数的结构 #

要计算条件期望，首先得明白对应的σ-代数包含哪些集合：

• $\mathcal F = \sigma([0,1/2])$：这个σ-代数是由单个集合$[0,1/2]$生成的，所以它的元素只有4个：$\emptyset, [0,1/2], (1/2,1], [0,1]$。简单说，它把$[0,1]$分成了两个不相交的“块”：$[0,1/2]$和它的补集$(1/2,1]$。
• $\mathcal G = \sigma(\mathcal B[0,1/2])$：这个σ-代数是由$[0,1/2]$上的所有Borel集生成的。它的结构是：所有形如$A$或$[0,1]\setminus A$的集合（以及这些集合的可数并、交），其中$A$是$[0,1/2]$上的Borel集。换句话说，$\mathcal G$完全保留了$[0,1/2]$上的所有Borel可测信息，但对$(1/2,1]$部分，只能识别“整个区间”或者“空集”，无法区分$(1/2,1]$的真子集。

2. 计算$E[X\mid\mathcal F]$ #

条件期望的核心性质是：它是σ-代数可测的函数，且在σ-代数的每个“原子”（最小非空可测集）上等于原变量在该原子上的平均值。

• 对于原子$[0,1/2]$：
  平均值为$\frac{1}{\lambda([0,1/2])}\int_{[0,1/2]} X d\lambda = \frac{1}{1/2}\int_0^{1/2} t dt = 2\times\frac{1}{8} = \frac{1}{4}$，所以对所有$\omega\in[0,1/2]$，$EX\mid\mathcal F=\frac{1}{4}$。
• 对于原子$(1/2,1]$：
  平均值为$\frac{1}{\lambda((1/2,1])}\int_{(1/2,1]} X d\lambda = \frac{1}{1/2}\int_{1/2}^1 t dt = 2\times(\frac{1}{2}-\frac{1}{8}) = \frac{3}{4}$，所以对所有$\omega\in(1/2,1]$，$EX\mid\mathcal F=\frac{3}{4}$。

综上，$E[X\mid\mathcal F]$的表达式为：
$$
EX\mid\mathcal F =
\begin{cases}
\frac{1}{4}, & \omega \in [0,1/2], \
\frac{3}{4}, & \omega \in (1/2,1].
\end{cases}
$$

3. 计算$E[X\mid\mathcal G]$ #

同样根据条件期望的性质，我们需要找一个$\mathcal G$-可测的函数$Y$，使得对任意$A\in\mathcal G$，$\int_A X d\lambda = \int_A Y d\lambda$：

• 在$[0,1/2]$上：因为$\mathcal G$包含了$[0,1/2]$上的所有Borel集，所以对任意$A\in\mathcal B([0,1/2])$，$\int_A X d\lambda = \int_A \omega d\lambda(\omega)$，要满足这个等式，$Y$在$[0,1/2]$上必须等于$X$本身（即$Y(\omega)=\omega$），否则无法对所有Borel子集都满足积分相等。
• 在$(1/2,1]$上：$\mathcal G$中没有$(1/2,1]$的真子集，所以$Y$在这个区间上必须是常数$c$。取$A=(1/2,1]$，计算积分：
  $\int_{(1/2,1]} X d\lambda = \int_{1/2}^1 t dt = \frac{3}{8}$，而$\int_{(1/2,1]} Y d\lambda = c\times\lambda((1/2,1]) = \frac{c}{2}$，解得$c=\frac{3}{4}$。

所以$E[X\mid\mathcal G]$的表达式为：
$$
EX\mid\mathcal G =
\begin{cases}
\omega, & \omega \in [0,1/2], \
\frac{3}{4}, & \omega \in (1/2,1].
\end{cases}
$$

4. 对比两个条件期望 #

我们从σ-代数的精细程度和条件期望的表现两方面对比：

• σ-代数精细程度：$\mathcal F$是非常粗糙的σ-代数，只把$[0,1]$分成两块；而$\mathcal G$要精细得多，完全保留了$[0,1/2]$上的所有细节，仅对$(1/2,1]$做了粗化。
• 条件期望差异：
  • 在$[0,1/2]$上：$E[X\mid\mathcal F]$是全局平均后的常数$\frac{1}{4}$，而$E[X\mid\mathcal G]$直接等于原变量$X(\omega)=\omega$——因为$\mathcal G$足够精细，能识别$[0,1/2]$上的每个细节，不需要做平均。
  • 在$(1/2,1]$上：两个条件期望都是常数$\frac{3}{4}$——因为不管是$\mathcal F$还是$\mathcal G$，都无法区分这个区间内的子集，只能对整个区间做平均。

本质上，条件期望的“平均程度”完全由σ-代数的精细程度决定：σ-代数越精细，条件期望越接近原变量；σ-代数越粗糙，条件期望的平均范围越大。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bling-Bling