这道题不用纠结牛顿-莱布尼茨公式，我们可以通过配方法把积分方程转化为非负函数的积分问题，再结合连续函数的性质来求解，具体步骤如下：

1. 整理原方程
   原方程为：
   $$\int_0^{1xf(x),dx=\frac13+\frac14\int_0}1(f(x))^2,dx$$
   先把所有项移到一侧并消去分母（两边乘4），得到：
   $$\int_0^1(f(x))2dx - 4\int_0^1xf(x)dx + \frac{4}{3} = 0$$

2. 对被积函数配方
   利用积分的线性性质，把前两个积分合并，然后对括号内的关于$f(x)$的二次式配方：
   $$(f(x))^2 -4xf(x) = (f(x)-2x)^2 - (2x)^2$$
   代入到积分式中，拆分积分项：
   $$\int_0^{1\left[(f(x)-2x)}2 -4x^2\right]dx + \frac{4}{3} = 0$$

3. 计算已知积分并化简
   先计算$\int_0^14x2dx$：
   $$\int_0^14x2dx = 4\times\left.\frac{x^{3}{3}\right|_0}1 = \frac{4}{3}$$
   代入后化简可得：
   $$\int_0^1(f(x)-2x)2dx - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 0$$
   即：
   $$\int_0^1(f(x)-2x)2dx = 0$$

4. 利用连续函数的性质得出结论
   因为$f(x)$是连续函数，所以$(f(x)-2x)^2$是连续非负函数。对于连续非负函数，若其在闭区间上的积分等于0，那么该函数在区间上处处为0，即：
   $$f(x)-2x=0 \quad \forall x\in[0,1]$$
   也就是$f(x)=2x$，这是唯一满足条件的连续函数。

所以满足条件的连续函数个数为1，对应选项B。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alphanerd