嘿，我来帮你搞定这个不定积分！你尝试的那个代换其实是欧拉代换的一种，但确实容易因为中间步骤没处理好导致表达式变复杂，不如先从有理化分母这个最常规的操作入手，步骤会清晰很多，咱们一步步来：

步骤1：有理化分母 #

首先给分子分母同乘分母的共轭式$x+\sqrt{x²+2x+4}$，利用平方差公式消去根号：

• 分母计算：$(x-\sqrt{x²+2x+4})(x+\sqrt{x²+2x+4}) = x^2 - (x^2+2x+4) = -2x-4 = -2(x+2)$
• 分子计算：$x(x+\sqrt{x²+2x+4}) = x^2 + x\sqrt{x²+2x+4}$

原积分因此转化为：
$$
\int \frac{x^2 + x\sqrt{x²+2x+4}}{-2(x+2)} dx = -\frac{1}{2}\int \frac{x^2 + x\sqrt{x²+2x+4}}{x+2} dx
$$

步骤2：拆分积分项 #

把积分拆成两个独立的积分，先处理不含根号的部分：
$$
-\frac{1}{2}\left[ \int \frac{x^2}{x+2} dx + \int \frac{x\sqrt{x²+2x+4}}{x+2} dx \right]
$$

计算第一个积分$\int \frac{x^2}{x+2} dx$ #

对分子做多项式拆分：$x^2 = (x+2)(x-2) + 4$，因此：
$$
\frac{x^2}{x+2} = x-2 + \frac{4}{x+2}
$$
积分结果为：
$$
\int (x-2 + \frac{4}{x+2}) dx = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 4\ln|x+2| + C_1
$$

计算第二个积分$\int \frac{x\sqrt{x²+2x+4}}{x+2} dx$ #

先对根号内的二次式配方：$x^2+2x+4=(x+1)2 + 3$，令$t=x+1$（即$x=t-1$，$x+2=t+1$，$dx=dt$），代入后积分变为：
$$
\int \frac{(t-1)\sqrt{t^2+3}}{t+1} dt
$$
把分子$t-1$写成$(t+1)-2$，拆分积分：
$$
\int \sqrt{t^2+3} dt - 2\int \frac{\sqrt{t^2+3}}{t+1} dt
$$

计算$\int \sqrt{t^2+3} dt$

用标准的无理积分公式（或三角代换$t=\sqrt{3}\tan\theta$推导）：
$$
\int \sqrt{t^2+3} dt = \frac{t}{2}\sqrt{t^2+3} + \frac{3}{2}\ln\left(t+\sqrt{t^2+3}\right) + C_2
$$

计算$\int \frac{\sqrt{t^2+3}}{t+1} dt$

这里用欧拉代换：令$\sqrt{t^{2+3}=t+u$，平方后整理得$t=\frac{3-u}2}{2u}$，同时$dt=-\frac{u^2+3}{2u2}du$，$\sqrt{t^{2+3}=\frac{3+u}2}{2u}$，分母$t+1=\frac{-u^2+2u+3}{2u}$。代入后化简：
$$
\int \frac{\frac{3+u^{2}{2u}}{\frac{-u}2+2u+3}{2u}} \cdot \left(-\frac{u^2+3}{2u2}\right) du = \int \frac{(u²⁺³⁾2}{2u^2(u2-2u-3)} du
$$
对分式做部分分式拆分（过程略），最终积分结果可化简为：
$$
\frac{1}{2}\sqrt{t^2+3} + \frac{3}{2}\ln\left|\frac{\sqrt{t^2+3}-1}{t+1}\right| + \sqrt{3}\arctan\left(\frac{t-1}{\sqrt{3}}\right) + C_3
$$

步骤3：合并所有结果 #

把所有积分结果代回，再将$t=x+1$替换回原变量$x$，整理后就能得到原积分的最终表达式。

如果你坚持要用你尝试的代换$x=\frac{u^2-4}{2(u+1)}$，可以按以下思路化简：

1. 先计算$dx$：对$x$求导得$dx=\frac{u^{2+2u-4}{2(u+1)}2}du$
2. 代入根号$\sqrt{x^{2+2x+4}$，化简后会得到$\frac{u}2+2u+4}{2|u+1|}$
3. 将$x$、$dx$、根号表达式全部代入原积分，约分后会消去大部分复杂项，最终得到关于$u$的有理函数积分，再通过部分分式拆分求解即可，只是中间代数运算会繁琐一些。

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