首先先明确你给出的定义：

称集合$X$（也可能是类，不确定）为饱和或完备的，当且仅当对任意$Y\in X$，$Y$是$X$的真子集：$$Y\subset X$$

你举的例子完全正确！咱们一步步拆解，再扩展更多显式实例，顺便把序数的形式给你掰明白～

基础有限实例 #

• $1 = {\emptyset}$：正如你说的，它唯一的元素是$\emptyset$，而空集是任何非空集合的真子集，完全满足条件。
• $2 = {\emptyset, {\emptyset}}$：咱们逐个验证元素：
  • $\emptyset$：显然$\emptyset \subset {\emptyset, {\emptyset}}$，是真子集；
  • ${\emptyset}$（也就是你说的1）：${\emptyset}$的所有元素都在2里，而且2比它多一个元素，所以${\emptyset} \subsetneq {\emptyset, {\emptyset}}$，也满足条件。
• $3 = {\emptyset, {\emptyset}, {\emptyset, {\emptyset}}}$：同理，每个元素都是更小的“完备集合”，也都是3的真子集，完美符合定义。

序数对应的完备集合 #

你提到“任意序数都是完备集合”，其实序数的定义就是所有更小序数的集合，所以每个序数天然满足“元素都是自身的真子集”，咱们把小序数的显式形式列出来：

• 0（空集）：$0 = \emptyset$——虽然它没有元素，但逻辑上“对任意$Y\in X$，$Y\subset X$”这个条件是空真的（没有反例），所以0也是完备集合。
• 有限序数（自然数）：1、2、3...就是上面举的例子，每个自然数$n = {0,1,2,...,n-1}$，每个元素$k\in n$都是$n$的真子集。
• 无限序数$\omega$：$\omega = {0,1,2,3,...}$（所有自然数的集合），任意自然数$k\in\omega$，$k$是所有小于$k$的自然数的集合，显然$k\subsetneq\omega$，满足完备集合的定义。

关于“类”的补充例子 #

如果你考虑真子类的情况，**所有序数构成的类$\text{Ord}$**也是“完备”的：任意序数$\alpha\in\text{Ord}$，$\alpha$是集合，而$\text{Ord}$是真类，所以$\alpha\subsetneq\text{Ord}$，符合你定义里的类的情况。

另外悄悄说一句：你定义的“完备/饱和集合”，其实就是集合论里的传递集合（transitive set），传递集合的标准定义就是“若$Y\in X$，则$Y\subset X$”，和你的定义完全等价～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dog_69