你的观察完全正确！任何$n\times n$矩阵$A$的Jordan标准形必然也是$n\times n$的矩阵，这是线性代数里的普遍结论，和你猜测的特征子空间维数确实有关联，下面我拆解一下背后的核心原因：

• 相似矩阵的阶数一致性：Jordan标准形的本质是和原矩阵相似的矩阵，而相似的定义是存在一个$n\times n$的可逆矩阵$P$，使得$P^{{-1}AP=J$（$J$就是Jordan标准形）。矩阵乘法要求阶数严格匹配：$P}{-1}$是$n\times n$，$A$是$n\times n$，它们的乘积是$n\times n$，再乘以$n\times n$的$P$，结果$J$自然也是$n\times n$的。这是最直接的逻辑。

• Jordan块的拼接规则：Jordan标准形是由若干个Jordan块对角拼接而成的。每个Jordan块对应原矩阵某个特征值的广义特征子空间里的循环子空间，而整个$n$维线性空间可以分解为不同特征值对应的广义特征子空间的直和——也就是说，所有广义特征子空间的维数之和恰好是$n$。每个广义特征子空间又能拆成若干循环子空间，每个循环子空间的维数就是对应Jordan块的阶数，把这些Jordan块拼起来，总阶数自然就是$n$，所以最终的Jordan矩阵是$n\times n$的。

• 和特征子空间维数的关联：你猜的没错，特征子空间的维数在这里起到了关键作用——某个特征值对应的特征子空间的维数，等于该特征值对应的Jordan块的个数。每个Jordan块的阶数至少是1，所以这些块的阶数加起来就是原矩阵的阶数$n$，这也从侧面验证了Jordan标准形的阶数和原矩阵一致。

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