嘿，我来帮你梳理这个联合CDF的推导问题～

我们已知X是随机变量，$Y = g(X)$，其中$g$是单调递减函数，现在要推导联合累积分布函数：
$$F_{X,Y}(x,y)=P(X\leq x, Y \leq y)=P(X\leq x, g(X)\leq y)$$

你提到的推理瓶颈我完全get到了，先把你的思路整理出来：

假设$g(x)<y$，若已知$Y>y$，则$g(X)>g(x)$，故$X<x$；但当$g(x)>y$且已知$X>x$时，推理无法成立。

其实核心突破口就是利用$g$的单调递减性，把事件${g(X) \leq y}$转化成关于X的等价事件，咱们一步步来拆解：

• 因为$g$是严格单调递减的（这里默认是严格单调，否则需要调整边界，但思路一致），所以对任意实数$t$，$g(t) \leq y$等价于$t \geq g^{{-1}(y)$——这里的$g}{-1}$是$g$的反函数，单调递减的函数只要值域覆盖讨论的$y$范围，反函数必然存在。
• 现在分两种情况分析联合事件${X\leq x, g(X)\leq y}$：
  1. 当$g(x) \leq y$（也就是$x \geq g^{-1}(y)$）时：${g(X)\leq y}={X\geq g^{{-1}(y)}$，所以联合事件就变成${g}{-1}(y)\leq X\leq x}$，对应的概率就是$F_X(x) - F_X(g^{-1}(y)-)$（如果X是连续型随机变量，左极限$F_X(g^{-1}(y)-)$就等于$F_X(g^{-1}(y))$）。
  2. 当$g(x) > y$（也就是$x < g^{-1}(y)$）时：${X\leq x}$和${X\geq g^{-1}(y)}$是完全互斥的事件，没有交集，所以联合事件的概率直接为0。

回头看你卡壳的场景：当$g(x) > y$时，$x < g^{{-1}(y)$，这时候哪怕$X>x$，只要X还没到$g}{-1}(y)$，$g(X)$依然大于$y$（因为g递减，X越小，g(X)越大），所以${X>x}$和${g(X)\leq y}$完全没有重叠，自然联合事件${X\leq x, g(X)\leq y}$的概率就是0，这样就把逻辑补全了。

最后把联合CDF总结成分段形式：
$$
F_{X,Y}(x,y)=
\begin{cases}
0, & x < g^{-1}(y) \
F_X(x) - F_X(g^{-1}(y)-), & x \geq g^{-1}(y)
\end{cases}
$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user194262