嘿，这个推广问题挺有意思的，我们从奥多姆的等边三角形构造逻辑出发，一步步算正方形的情况就好：

首先明确奥多姆的黄金比例构造核心：

• 取内接于外接圆的等边三角形，A、B分别是两条相邻边的中点
• 连接AB并延长，这条线会和外接圆交于点C
• 此时线段比值 $R_3 = \frac{|AB|}{|BC|} = \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

我们用单位外接圆（半径=1）来设定坐标，让计算更直观：

1. 先给正方形的四个顶点定坐标：$P(1,0)$、$Q(0,1)$、$R(-1,0)$、$S(0,-1)$，它们都在单位圆 $x^2 + y^2 = 1$ 上
2. 取相邻两条边的中点：
   • $PQ$边的中点 $A\left(\frac{1+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$
   • $PS$边的中点 $B\left(\frac{1+0}{2}, \frac{0+(-1)}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$
3. 计算$|AB|$的长度：AB是垂直于x轴的线段，长度就是两点y坐标差的绝对值，也就是 $\left| -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right| = 1$
4. 延长AB（过B点向下）交外接圆于C点：
   • 把 $x=\frac{1}{2}$ 代入圆方程，解得 $y = -\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以C点坐标是 $\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
5. 计算$|BC|$的长度：同样看y坐标差，$\left| -\frac{\sqrt{3}}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) \right| = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$
6. 最后算比值：
   • $R_4 = \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}-1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}-1}$
   • 有理化后得到最终结果：$R_4 = \sqrt{3} + 1 \approx 2.732$

当然，如果对A、B、C的对应关系有其他理解，结果可能会不同，但按照奥多姆构造的核心逻辑（相邻边中点连线延长交外接圆的线段比值），这个结果是准确的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tito Piezas III