问题描述 #

已知复数$z$满足$\left| z^3+\frac{1}{z3} \right| \leq 2$，求证$\left| z+\frac{1}{z} \right| \leq 2$。

证明思路与完整过程 #

我最开始先从代数变形入手，先做因式分解简化式子：
$$\left| z^3+\frac{1}{z3} \right| = \left| \left(z+\frac{1}{z}\right)\left(z^2 - 1 + \frac{1}{z^2}\right) \right|$$
根据复数模的核心性质$|ab|=|a||b|$，上式可以拆成：
$$\left| z+\frac{1}{z} \right| \cdot \left| z^2 - 1 + \frac{1}{z^2} \right| \leq 2$$

这里我想到换元会大幅简化计算，令$w = z + \frac{1}{z}$，先把$z^2 + \frac{1}{z^2}$用$w$表示：
因为$(z + \frac{1}{z})^2 = z^2 + 2 + \frac{1}{z^{2}$，所以$z}2 + \frac{1}{z^2} = w^2 - 2$，代入上面的式子可得：
$$\left| z^2 - 1 + \frac{1}{z^2} \right| = |(w^2 - 2) - 1| = |w^2 - 3|$$

原不等式就转化为更简洁的形式：
$$|w| \cdot |w^2 - 3| \leq 2$$

接下来用反证法完成证明：假设$|w| > 2$，设$|w| = t$（$t > 2$）。
根据三角不等式，$|w^2 - 3| \geq ||w|^2 - |3|| = |t^2 - 3|$，因为$t > 2$，所以$t^2 > 4$，$t^2 - 3 > 1$，因此$|t^2 - 3| = t^2 - 3$。

那么$|w| \cdot |w^2 - 3| \geq t(t^2 - 3)$，令$f(t) = t^3 - 3t$，求导得$f'(t) = 3t^2 - 3$，当$t > 2$时，$f'(t) = 3(t^2 - 1) > 0$，说明$f(t)$在$t > 2$时单调递增。
而$f(2) = 8 - 6 = 2$，所以当$t > 2$时，$f(t) > 2$，这意味着$|w| \cdot |w^2 - 3| > 2$，和原不等式$|w| \cdot |w^2 - 3| \leq 2$矛盾。

因此假设不成立，即$|w| = \left| z + \frac{1}{z} \right| \leq 2$，得证。

另外，你最开始提到的设$z = x + yi$（$x,y \in \mathbb{R}$）的思路也能走通，不过计算量会大一些：比如先展开$z + \frac{1}{z}$的实部和虚部，计算其模的平方，再结合$z^3 + \frac{1}{z^3}$的模的条件推导，最终也能推出矛盾，但换元的方法显然更高效简洁。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者QFTheorist