首先直接给结论：不一定。对于一般的非光滑/非连续黎曼可积函数，存在反常积分发散到∞，但无穷下黎曼和有限的例子；而如果$f$是光滑甚至仅连续函数，你的直觉是对的——无穷下黎曼和必然也发散到∞。

一、一般情况：反例构造 #

我们可以构造一个满足条件的函数：

定义函数$f(x)$在$[0, \infty)$上如下：

• 对每个自然数$n \geq 0$，在区间$[n, n+1 - \frac{1}{(n+1)^2})$上，$f(x) = n+1$；
• 在区间$[n+1 - \frac{1}{(n+1)^2}, n+1)$上，$f(x) = 0$。

验证条件： #

1. 任意有界区间$[0,a]$上黎曼可积：在任意有界区间内，$f(x)$只有有限个间断点每个整数区间内仅一个间断点，根据黎曼可积的充要条件间断点测度为0，显然$f$在$[0,a]$上黎曼可积。
2. 反常积分发散到$\infty$：计算每个区间的积分：
   $$
   \int_{n}^{n+1} f(x) dx = (n+1) \cdot \left(1 - \frac{1}{(n+1)^2}\right) = (n+1) - \frac{1}{n+1}
   $$
   对$n$从0到∞求和：
   $$
   \sum_{n=0}^{\infty} \left[(n+1) - \frac{1}{n+1}\right] = \sum_{k=1}^{\infty} k - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}
   $$
   其中$\sum_{k=1}^{{\infty}k$发散到∞，$\sum_{k=1}}{\infty}\frac{1}{k}$是调和级数虽发散但增长远慢于前者，整体和显然发散到∞，即反常积分$\int_{0}^{\infty}f(x)dx = \infty$。
3. 无穷下黎曼和有限为0：对于每个区间$[n, n+1)$，$f(x)$的下确界是0因为每个区间内都存在一段$f(x)=0$的子区间。无论我们对$[0,\infty)$做何种分划只要每个子区间包含该区间内的0值部分，下黎曼和的累加结果都是$\sum_{n=0}^{\infty} 0 \cdot 1 = 0$，是有限值。

二、光滑/连续函数的情况：下黎曼和必发散到∞ #

如果$f$是光滑函数或仅连续，那么在每个闭区间$[n, n+1]$上，$f(x)$连续，因此存在最小值$m_n = \inf_{x \in [n,n+1]} f(x)$，且根据积分的单调性：
$$
\int_{n}^{n+1} f(x) dx \geq m_n \cdot 1 = m_n
$$
由于反常积分$\int_{0}^{\infty}f(x)dx = \lim_{a \to \infty} \int_{0}^{a}f(x)dx = \infty$，即$\sum_{n=0}^{\infty} \int_{n}^{n+1}f(x)dx = \infty$，那么由上述不等式可得：
$$
\sum_{n=0}^{\infty} m_n \geq \sum_{n=0}^{\infty} \int_{n}^{n+1}f(x)dx = \infty
$$
而无穷下黎曼和的上确界就是这个级数的和，因此必然发散到∞。这就是为什么光滑函数的情况下你的直觉成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Satana