嘿，我来帮你把这个困惑捋清楚～

首先得牢牢记住一个线性代数里的核心结论：任何矩阵的行秩（行空间的维度）和列秩（列空间的维度）一定相等，这个相等的值就是矩阵的秩。所以你一开始判断行空间维度是3，那列空间维度绝对不可能是7，这是先明确的大前提。

咱们来拆解你给出的这个行阶梯形矩阵：

\begin{pmatrix} 1& -2& 0& 19& -6& 0& -37\\ 0& 0& 1& -6& 2& 0& 6\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 3\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ \end{pmatrix}

先看行的情况 #

这个矩阵有3个非零行，而且行阶梯形的非零行天然是线性无关的（每一行的第一个非零元素所在的列，在其他行里都是0，没法用其他行线性组合出来），所以行空间的维度确实是3，矩阵的秩也就是3。

再看列的情况 #

你误以为有7个线性无关的列，其实是忽略了列向量之间的线性相关性：

1. 首先，这个矩阵的列向量是4维的（因为矩阵有4行），而在4维向量空间里，最多只能有4个线性无关的向量，7个列向量必然是线性相关的，根本不可能全部线性无关。
2. 具体看这个矩阵的主元列（每行第一个非零元素所在的列）：第1列、第3列、第6列，这三个列向量是线性无关的。
3. 剩下的所有列都可以用这三个主元列线性表示：
   • 第2列 = -2×第1列 + 0×第3列 + 0×第6列
   • 第4列 = 19×第1列 + (-6)×第3列 + 0×第6列
   • 第5列 = (-6)×第1列 + 2×第3列 + 0×第6列
   • 第7列 = (-37)×第1列 + 6×第3列 + 3×第6列

所以列空间的维度就是这3个线性无关主元列的数量，也就是3，和行秩完全一致。

总结一下：这个矩阵的秩是3，行空间和列空间的维度都是3，不存在7个线性无关的列哦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user522841