你的思路完全可行！我们可以沿着你提出的对数分支路径，补充后续的映射步骤，最终构造出目标双全纯函数。下面是完整的推导过程：

先明确目标域与思路方向 #

我们需要构造双全纯映射（单射、满射、全纯，且逆映射也全纯），将单位圆盘 ( \mathbb{D} = { |z| < 1 } ) 映射到「吃豆人」域 ( U = { |z| < 1, \text{Arg } z \notin [-\pi/4, \pi/4] } )。

通常构造这类映射的思路是：先把目标域 ( U ) 映射到更简单的标准域（比如半平面、带形域），再通过逆映射得到 ( \mathbb{D} \to U ) 的函数——因为双全纯映射是双向可逆的。

步骤1：将「吃豆人」域 ( U ) 映射到带形域 #

这一步和你的思路完全一致：

1. 对数分支映射：取对数分支 ( \log z = \ln|z| + i\theta )，其中 ( \theta \in (\pi/4, 7\pi/4) )（避开 ( \text{Arg } z \in [-\pi/4, \pi/4] ) 的区域）。
   这个映射把 ( U ) 映射到带形域：
   [
   V = { w \in \mathbb{C} : \text{Re}(w) < 0, \pi/4 < \text{Im}(w) < 7\pi/4 }
   ]
   （因为 ( |z| < 1 ) 所以 ( \ln|z| < 0 )，( \text{Arg } z ) 的范围直接转化为 ( \text{Im}(\log z) ) 的范围）

2. 平移调整虚部范围：做平移 ( w \mapsto w - \pi/4 )，将虚部范围从 ( (\pi/4, 7\pi/4) ) 调整为 ( (0, 3\pi/2) )，得到：
   [
   V_1 = { w \in \mathbb{C} : \text{Re}(w) < 0, 0 < \text{Im}(w) < 3\pi/2 }
   ]

3. 缩放压缩虚部：做缩放 ( w \mapsto \frac{2}{3}w )，将虚部范围压缩到 ( (0, \pi) )，得到标准带形域：
   [
   V_2 = { w \in \mathbb{C} : \text{Re}(w) < 0, 0 < \text{Im}(w) < \pi }
   ]

步骤2：将带形域 ( V_2 ) 映射到上半平面 #

现在需要把左半带形 ( V_2 ) 映射到上半平面 ( \mathbb{H} = { \zeta \in \mathbb{C} : \text{Im}(\zeta) > 0 } )，分三步完成：

1. 指数映射到上半单位圆盘：用 ( \zeta = e^w )，对于 ( w = x + iy \in V_2 )，( x < 0 ) 所以 ( |\zeta| = e^x < 1 )，( y \in (0, \pi) ) 所以 ( \text{Arg}(\zeta) \in (0, \pi) )，因此 ( \zeta ) 落在上半单位圆盘 ( \mathbb{H}_1 = { \zeta : |\zeta| < 1, \text{Im}(\zeta) > 0 } )。

2. 分式线性变换到第一象限：用 ( \eta = \frac{1 + \zeta}{1 - \zeta} )，这个映射把单位圆盘 ( \mathbb{D} ) 映射到右半平面，同时把上半单位圆盘 ( \mathbb{H}_1 ) 映射到第一象限 ( { \eta : \text{Re}(\eta) > 0, \text{Im}(\eta) > 0 } )。

3. 平方映射到上半平面：用 ( \xi = \eta^2 )，平方运算直接把第一象限映射到整个上半平面 ( \mathbb{H} )（因为第一象限的角度范围是 ( (0, \pi/2) )，平方后角度范围变为 ( (0, \pi) )）。

步骤3：将上半平面映射到单位圆盘 #

用经典的Cayley变换把上半平面 ( \mathbb{H} ) 映射到单位圆盘 ( \mathbb{D} )：
[
z = \frac{\xi - i}{\xi + i}
]

逆推得到 ( \mathbb{D} \to U ) 的映射 #

现在把所有步骤逆过来，就能得到从单位圆盘 ( \mathbb{D} ) 到「吃豆人」域 ( U ) 的双全纯函数：

1. 对 ( z \in \mathbb{D} )，先做Cayley变换的逆映射，得到上半平面的点：
   [
   \xi = i \cdot \frac{1 + z}{1 - z}
   ]
2. 取平方根（取第一象限分支），得到第一象限的点：
   [
   \eta = \sqrt{\xi} \quad (\text{满足 } \text{Re}(\eta) > 0, \text{Im}(\eta) > 0)
   ]
3. 做分式线性变换的逆映射，得到上半单位圆盘的点：
   [
   \zeta = \frac{\eta - 1}{\eta + 1}
   ]
4. 取对数（取分支使得 ( \text{Re}(\log \zeta) < 0, 0 < \text{Im}(\log \zeta) < \pi )）：
   [
   w = \log \zeta
   ]
5. 缩放和平移，调整回原始带形：
   [
   w' = \frac{3}{2}w + \frac{\pi}{4}i
   ]
6. 取指数映射，得到「吃豆人」域 ( U ) 的点：
   [
   f(z) = e^{w'} = e^{\frac{3}{2}\log\left( \frac{\sqrt{i \cdot \frac{1+z}{1-z}} - 1}{\sqrt{i \cdot \frac{1+z}{1-z}} + 1} \right) + \frac{\pi}{4}i}
   ]

可以简化这个表达式：
[
f(z) = e^{\frac{\pi}{4}i} \cdot \left( \frac{\sqrt{i \cdot \frac{1+z}{1-z}} - 1}{\sqrt{i \cdot \frac{1+z}{1-z}} + 1} \right)^{3/2}
]

验证思路的可行性 #

你的核心思路（利用对数分支展开扇形为带形，再通过线性变换调整带形，最终映射到半平面/单位圆盘）是复分析中构造区域间双全纯映射的标准方法，完全正确。唯一需要补充的是带形域到半平面的具体映射步骤（通过指数、分式线性、平方的复合），这部分我们已经完善了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user401516