其实你完全可以从θ的显式表达式入手直接求偏导，步骤会简洁很多：

首先，我们知道在直角坐标系下，θ可以表示为：
$$\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$$

现在我们要计算$\partial_y(\theta)$（也就是固定x时，θ对y的偏导数），直接对y求导即可：
$$
\partial_y(\theta) = \frac{1}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} \cdot \frac{\partial}{\partial_y}\left(\frac{y}{x}\right)
$$

化简这个式子：

1. 先处理分母的分式：$1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2 = \frac{x^2 + y^2}{x2}$
2. 分子的偏导项：$\frac{\partial}{\partial_y}\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{x}$

把两者代入后：
$$
\partial_y(\theta) = \frac{x^2}{x2 + y^2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{x^2 + y^2}
$$

再用极坐标的替换关系：$x = r\cos(\theta)$，且$x^2 + y^2 = r^2$，代入后就得到：
$$
\partial_y(\theta) = \frac{r\cos(\theta)}{r^2} = \frac{\cos(\theta)}{r}
$$

你之前的方法是通过绕到$\partial_\theta(r)$再推导，虽然逻辑没问题，但确实绕了弯路，直接从θ的定义出发一步到位会更高效。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MathGuru