Great question! 这问题戳中了超实数（非标准分析）和经典实数分析的核心差异——抛弃ε-δ连续性定义可不只是为了“复古”用无穷小，背后是两种完全不同的思维框架和工具定位。咱们唠清楚：

• 1. 超实数的设计初衷就是回归微积分的直观本质
  当年莱布尼茨搞微积分时，就是用“无穷小量”描述连续和导数——连续就是“x动一点点（无穷小），f(x)也动一点点”。但后来因为无穷小的逻辑漏洞（比如贝克莱悖论），才被逼出ε-δ这种“用有限实数量化逼近”的严谨定义。超实数通过超滤器构造，把无穷小/无穷大变成了合法的数学实体，终于能把当年的直观想法严谨化。这时候再用ε-δ，相当于放着现成的直观工具不用，硬要绕回复杂的量词嵌套，完全违背了超实数的设计目的。

• 2. 逻辑框架的本质差异：“实体化无穷小” vs “有限量化逼近”
  ε-δ是基于经典实数的一阶逻辑，核心是“对任意（有限）ε>0，存在（有限）δ>0…”，用有限的实数去“模拟”无限接近的过程。而超实数的非标准分析框架里，“无限接近”是原生的关系（用≈表示，x≈y当且仅当x-y是无穷小），连续性直接定义为：若x≈a，则f(x)≈f(a)。这种定义没有量词嵌套，证明起来简洁到爆炸——比如证明复合函数连续性，用无穷小定义一句话就能说清，用ε-δ得写好几层量词推导。

• 3. ε-δ无法覆盖超实数全域的连续性
  超实数不仅包含实数，还有无穷小、无穷大这些“非标准元素”。如果要定义一个定义域包含无穷小的函数的连续性，ε-δ就失效了——因为ε和δ都是实数，没法描述两个超实数（比如两个不同的无穷小）之间的“无限接近”。这时候必须用超实数原生的≈关系，ε-δ根本处理不了这类场景。

答案是对实数点的连续性仍然适用，但只是无穷小定义的一个推论。

具体来说，你可以严格证明：一个函数f在实数点a处连续（用超实数的无穷小定义），当且仅当它在a处满足经典的ε-δ连续性条件。本质上，ε-δ是把超实数里的“x≈a时f(x)≈f(a)”翻译成了实数域里的量化语言。

但要注意：如果你的函数定义域扩展到了超实数的非标准部分（比如包含无穷小），ε-δ就完全没用了——因为它只能描述实数之间的逼近，没法处理超实数特有的无穷元素。

所以总结下来：超实数不用ε-δ，是因为ε-δ不符合它的直观设计和逻辑框架，而且没法处理超实数全域的问题；但ε-δ在实数子集上仍然成立，只是不是超实数体系里的最优选择。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者asn32