嘿，我来帮你搞定这个极限问题！你想用定积分法的思路完全没问题，只是变量替换的方式不对，才导致卡壳了。咱们先把定积分法的正确打开方式理清楚，再给你一个替代方法验证结果～

一、修正定积分法的思路 #

你之前选的Δx = n和x_i = in不符合黎曼和的定义，黎曼和需要把离散的求和项转化为关于k/n的连续变量形式，这样当n→∞时，k/n才能趋近于区间内的连续点x。

我们先对原式做变形：
$$
\begin{align*}
n\left(\frac{1}{(n+1)^{2}+\frac{1}{(n+2)}2}+\cdots+\frac{1}{(n+n)^2} \right)
&= n \sum_{k=1}^n \frac{1}{(n+k)^2} \
&= n \sum_{k=1}^n \frac{1}{n^{2\left(1+\frac{k}{n}\right)}2} \
&= \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\left(1+\frac{k}{n}\right)^2}
\end{align*}
$$

现在看这个式子，它就是标准的黎曼和：

• 取Δx = 1/n（这是把区间[0,1]分成n等份后的每份长度）
• 取样本点x_k = \frac{k}{n}（对应区间[x_{k-1},x_k]的右端点）
• 被积函数是f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}

当n→∞时，黎曼和就趋近于定积分：
$$
\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\left(1+\frac{k}{n}\right)^2} = \int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x)^2} dx
$$

计算这个积分：
$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x)^2} dx = \left. -\frac{1}{1+x} \right|_{0}^{1} = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}
$$

二、替代方法：夹逼准则 #

如果你想换个思路验证结果，夹逼准则也是个不错的选择。我们利用1/x²是单调递减函数的性质，对求和项进行放缩：

对于每个k∈[1,n]，有：
$$
\int_{n+k}^{n+k+1} \frac{1}{x^2} dx \leq \frac{1}{(n+k)^2} \leq \int_{n+k-1}^{n+k} \frac{1}{x^2} dx
$$

对k从1到n求和：
$$
\int_{n+1}^{2n+1} \frac{1}{x^2} dx \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{(n+k)^2} \leq \int_{n}^{2n} \frac{1}{x^2} dx
$$

计算左右两边的积分：

• 左边积分：$\int_{n+1}^{2n+1} \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{2n+1} + \frac{1}{n+1} = \frac{n}{(2n+1)(n+1)}$
• 右边积分：$\int_{n}^{2n} \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{2n} + \frac{1}{n} = \frac{1}{2n}$

两边同时乘以n：
$$
\frac{n^2}{(2n+1)(n+1)} \leq n\sum_{k=1}^n \frac{1}{(n+k)^2} \leq \frac{1}{2}
$$

当n→∞时，左边的极限是：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{(2n+1)(n+1)} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}} = \frac{1}{2}
$$

根据夹逼准则，原式的极限就是$\frac{1}{2}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Asad Raza