我懂你在梳理这类贝塞尔函数乘积积分时的困扰——目前文献里确实缺乏对不同阶数、不同宗量的第一类贝塞尔函数带权$z$积分的系统整理，连通用解法和闭式解的存在性都没明确说明。针对你关注的$\boldsymbol{\int_{0}^{r}J_{m}(\alpha_{1}z)J_{n}(\alpha_{2}z)z \text{d}z}$，尤其是$m>0$且$n=0$的情形，我来详细拆解：

这个积分属于带权的贝塞尔函数乘积积分，核心可以通过两种方向推导：

• 利用贝塞尔函数的递推关系：比如$zJ_k(z) = \frac{z}{2}[J_{k-1}(z)+J_{k+1}(z)]$，不过直接展开可能引入冗余项，更高效的是结合贝塞尔微分方程来构造积分等式。
• 基于洛梅尔积分（Lommel Integrals）的扩展形式：洛梅尔积分本身就是贝塞尔函数乘积的积分，我们可以通过参数替换和递推来适配你的积分形式。

具体来说，当$\alpha_1 \neq \alpha_2$时，我们可以用分部积分法结合贝塞尔方程推导：
已知$J_m(\alpha_1 z)$满足：
$$z^2 J_m''(\alpha_1 z) + z J_m'(\alpha_1 z) + (\alpha_1^2 z^2 - m^2)J_m(\alpha_1 z) = 0$$
同理$J_n(\alpha_2 z)$满足对应的方程。将两个方程分别乘以$z J_n(\alpha_2 z)$和$z J_m(\alpha_1 z)$，相减后对$z$从0到$r$积分，就能消去二阶导数项，得到积分的闭式表达式。

当$n=0$时，积分简化为$\boldsymbol{\int_{0}^{r}J_{m}(\alpha_{1}z)J_{0}(\alpha_{2}z)z \text{d}z}$，这里分两种核心情况讨论：

1. $\boldsymbol{\alpha_1 \neq \alpha_2}$（实数/复数均适用） #

通过分部积分结合贝塞尔函数的导数性质（$J_0'(z) = -J_1(z)$，$J_m'(z) = \frac{1}{2}[J_{m-1}(z)-J_{m+1}(z)]$），可以推导出闭式解：
$$
\frac{r}{\alpha_1^2 - \alpha_2^2}\left[\alpha_1 J_m'(\alpha_1 r)J_0(\alpha_2 r) + \alpha_2 J_m(\alpha_1 r)J_1(\alpha_2 r)\right]
$$
如果需要完全用整数阶贝塞尔函数（不含导数）表示，代入$J_m'$的递推式即可，比如替换为$\frac{1}{2}[J_{m-1}(\alpha_1 r)-J_{m+1}(\alpha_1 r)]$，得到全由$J_k$形式组成的表达式。

2. $\boldsymbol{\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha}$（实数/复数均适用） #

此时积分变为$\boldsymbol{\int_{0}^{r}J_{m}(\alpha z)J_{0}(\alpha z)z \text{d}z}$，利用贝塞尔函数的正交性扩展和递推积分，结果可以表示为：
$$
\frac{r}{2}\left[(-1)^m J_m(\alpha r)J_1(\alpha r) - J_{m-1}(\alpha r)J_0(\alpha r)\right] + \frac{m}{\alpha^2}J_m(\alpha r)J_0(\alpha r)
$$
这个形式是完全闭式的，所有项都是第一类贝塞尔函数的组合，其中$J_{-k}(z)=(-1)^k J_k(z)$的性质被用来简化$J_{-1}$项。

对于$\alpha_1, \alpha_2$为复数的情况，上述所有表达式依然有效——因为贝塞尔函数的递推关系和微分方程性质在复平面（除分支点外）是通用的，只需要保证宗量的取值使得积分收敛即可（比如当$\text{Re}(\alpha z) > 0$时，贝塞尔函数的增长性不会导致积分发散）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Beren Turambar