首先，我们先把对数为整数的条件转化为功率的表达式：

对于每个$i \in {1,2}$，设$\log_{2}\left(1+\frac{p_i h_i}{\sigma}\right)=k_i$，其中$k_i$是正整数（因为$p_i>0$，括号内的值必然大于1，所以对数结果是正整数）。

对这个等式变形可得：
$$1+\frac{p_i h_i}{\sigma}=2^{k_i}$$
整理后得到功率的表达式：
$$p_i=\frac{\sigma(2^{k_i}-1)}{h_i}$$
因为$h_1,h_2,\sigma$都是正有理数，$\sigma/h_i$是有理数，$2^{k_i}-1$是整数，所以$p_i$自然是正有理数，完全满足题目要求。

目标转化与约束简化 #

原问题的目标是最大化两个对数的和，而根据上面的转化，这个目标等价于最大化$k_1+k_2$（两个正整数的和）——毕竟每个对数就是对应的$k_i$值。

同时，原约束$p_1+p_2\leq a$可以代入$p_i$的表达式，转化为：
$$\frac{\sigma(2^{{k_1}-1)}{h_1}+\frac{\sigma(2}{k_2}-1)}{h_2}\leq a$$
把$\sigma$提取出来，整理成更简洁的形式：
$$\frac{2^{{k_1}-1}{h_1}+\frac{2}{k_2}-1}{h_2}\leq \frac{a}{\sigma}$$

求解步骤 #

要找到最优的$p_1,p_2$，可以按照以下步骤操作：

1. 确定$k_1$的取值范围：
   因为$p_1>0$且$p_1\leq a$，所以$\frac{\sigma(2^{k_1}-1)}{h_1}\leq a$，即$2^{k_1}\leq 1+\frac{a h_1}{\sigma}$。由此可得$k_1$的最大可能值为$\lfloor \log_2\left(1+\frac{a h_1}{\sigma}\right) \rfloor$，最小为1。

2. 遍历每个可能的$k_1$，计算对应的最大$k_2$：
   对于每个$k_1$，代入约束式，解出$k_2$的最大可能值：
   $$2^{k_2}\leq 1+\frac{h_2}{\sigma}\left(a-\frac{\sigma(2^{k_1}-1)}{h_1}\right)$$
   化简右边的表达式：
   $$2^{k_2}\leq 1+\frac{a h_2}{\sigma}-\frac{h_2}{h_1}(2^{k_1}-1)$$
   对应的$k_2$最大值就是满足上式的最大正整数，记为$k_{2,\text{max}}$。

3. 找出和最大的$(k_1,k_2)$组合：
   遍历完所有$k_1$后，记录每一组$(k_1,k_{2,\text{max}})$的和$k_1+k_{2,\text{max}}$，找到其中和最大的那些组合。如果有多个组合的和相同，它们都是最优解（因为目标值完全一致）。

4. 计算对应的$p_1,p_2$：
   把最优的$k_1,k_2$代入$p_i=\frac{\sigma(2^{k_i}-1)}{h_i}$，就能得到满足所有条件的功率值。

示例验证 #

举个具体例子：设$\sigma=1$，$h_1=1$，$h_2=1$，$a=5$。

• $k_1$的取值范围：$2^{k_1}\leq 1+\frac{5*1}{1}=6$，所以$k_1$可以取1、2（因为$2^3=8>6$）。
  • 当$k_1=1$时，$p_1=1*(2^{1-1)/1=1$，剩余功率$5-1=4$。代入约束得$2}{k_2}\leq1+\frac{1}{1}(4)=5$，所以$k_2$最大为2（$2^{2=4\leq5$），$p_2=1*(2}2-1)/1=3$，和为$1+2=3$。
  • 当$k_1=2$时，$p_1=3$，剩余功率$5-3=2$，$2^{k_2}\leq1+2=3$，$k_2$最大为1，$p_2=1$，和为$2+1=3$。
• 最优解为$(p_1,p_2)=(1,3)$或$(3,1)$，目标值为3，完全满足所有条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ZZ1