首先，我们从已知条件出发：f是连续函数，且对所有实数x，满足 f(x) = ∫₀ˣf(t)dt。我们的目标是证明f恒等于0，全程不使用微积分基本定理（FTC）。

步骤1：迭代推导积分表达式 #

因为f(x) = ∫₀ˣf(t)dt，而f(t)本身又可以替换为它的积分定义式∫₀ᵗf(s)ds，代入后得到：

f(x) = ∫₀ˣ [∫₀ᵗf(s)ds] dt

重复这个替换操作n次，就能得到n重积分的表达式：

f(x) = ∫₀ˣ∫₀ᵗ₁∫₀ᵗ₂…∫₀ᵗₙ₋₁f(tₙ)dtₙ…dt₂dt₁

步骤2：利用连续性估计积分的绝对值 #

由于f是连续函数，对于任意固定的x，考虑闭区间[0, |x|]（覆盖x正负两种情况），f在这个区间上必有界——也就是说存在一个常数M>0，使得对所有t∈[0, |x|]，都有|f(t)| ≤ M。

对n重积分取绝对值，利用“积分的绝对值不超过绝对值的积分”这个基本性质，可得：

|f(x)| ≤ ∫₀ˣ∫₀ᵗ₁…∫₀ᵗₙ₋₁ |f(tₙ)| dtₙ…dt₁ ≤ M ∫₀ˣ∫₀ᵗ₁…∫₀ᵗₙ₋₁ dtₙ…dt₁

步骤3：计算n重积分的结果 #

这个n重积分是标准的累次积分，我们可以用数学归纳法证明它等于|x|ⁿ/n!：

• 当n=1时，积分是∫₀ˣdt₁ = |x| = |x|¹/1!，显然成立；
• 假设n=k时，k重积分等于|x|ᵏ/k!，那么n=k+1时：

∫₀ˣ [∫₀ᵗ₁…∫₀ᵗₖ dtₖ…dt₂] dt₁ = ∫₀ˣ t₁ᵏ/k! dt₁

这里计算单积分时不需要FTC：对于正整数k，∫₀ˣtᵏdt = |x|ᵏ⁺¹/(k+1)可以通过黎曼和直接推导（把区间等分，计算和式的极限即可），因此上面的积分结果是(1/k!)·|x|ᵏ⁺¹/(k+1) = |x|ᵏ⁺¹/(k+1)!，归纳成立。

最终我们得到：

|f(x)| ≤ M·|x|ⁿ/n!

步骤4：关键极限的解释（解答你的疑问） #

你提到的limₙ→∞xⁿ相关性质，其实核心是对于任意固定的实数x，当n→∞时，|x|ⁿ/n! → 0——这不是单纯的xⁿ的极限（单纯xⁿ只有当|x|<1时才趋于0），而是xⁿ与n!的比值的极限，这个结论不需要FTC，属于基础的序列极限知识，通常在微积分入门的序列章节就会讲到，证明思路如下：

• 取一个足够大的正整数N，使得N > 2|x|；
• 当n > N时，把|x|ⁿ/n!拆成两部分：|x|ᴺ/N! · (|x|/(N+1)) · (|x|/(N+2)) · … · (|x|/n)；
• 因为N > 2|x|，所以每个因子|x|/(N+k) < 1/2（k≥1），当n > N时，后面共有(n-N)个这样的因子，因此：

|x|ⁿ/n! < |x|ᴺ/N! · (1/2)ⁿ⁻ᴺ

• 右边的(1/2)ⁿ⁻ᴺ当n→∞时会趋于0，而|x|ᴺ/N!是一个固定不变的常数，所以整个表达式必然趋于0。

步骤5：完成证明 #

因为|f(x)| ≤ M·|x|ⁿ/n!对所有正整数n都成立，而当n→∞时右边的极限是0，所以|f(x)| ≤ 0。又因为绝对值本身是非负的，因此只能有f(x)=0。由于x是任意实数，所以f在整个实数域上恒等于0。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者helios321