首先咱们先解决你提到的$W(a, b, c, n)$的计算问题，然后再纠正你概率公式里的小疏漏，最后给出完整的解法：

一、计算$W(a, b, c, n)$的两种情况 #

这里需要先明确一个前提：题目里的球是同色不可区分还是每个球都可区分？这两种情况的计算方式完全不同：

• 情况1：同色球不可区分，盒子可区分
  这是典型的隔板法问题，每种颜色的球放置是独立的：

  • $a$个红球放入$n$个盒子的放法数（允许空盒）是组合数 $\binom{a + n - 1}{n - 1}$
  • 同理，绿球的放法数是 $\binom{b + n - 1}{n - 1}$，黄球是 $\binom{c + n - 1}{n - 1}$
  • 所以三种颜色组合起来，$W(a, b, c, n) = \binom{a + n - 1}{n - 1} \times \binom{b + n - 1}{n - 1} \times \binom{c + n - 1}{n - 1}$

• 情况2：所有球都可区分（比如每个红球都有编号）
  每个球都有$n$个盒子可选，所以：

  • $a$个红球的放法数是 $n^a$
  • 绿球是 $n^b$，黄球是 $n^c$
  • 因此 $W(a, b, c, n) = n^a \times n^b \times n^c = n^{a+b+c}$

二、纠正你的概率公式问题 #

你写的$10 \times W(7,8,9,10)/W(9,10,11,9)$其实只考虑了“选一个盒子满足条件”的情况，但忽略了多个盒子同时满足2红2绿2黄时的重复计算，这时候必须用容斥原理才能得到准确结果。

设$A_i$表示第$i$个盒子恰好装有2红2绿2黄球的事件（$i=1$到$10$），所求概率是$P(\bigcup_{i=1}^{10}A_i)$，根据容斥原理：
$$
P(\bigcup_{i=1}^{10}A_i) = \sum_{k=1}^{4} (-1)^{k+1} \binom{10}{k} \times \frac{W(9-2k, 10-2k, 11-2k, 10)}{W(9,10,11,10)}
$$
（注：当$k\geq5$时，$2k=10>9$，红球数量不够，对应的项直接为0，无需计算）

另外你之前的分母写错了，应该是$W(9,10,11,10)$（放入10个盒子），而不是$W(9,10,11,9)$。

三、代入计算示例（以同色球不可区分为例） #

我们可以把组合数代入计算：

• 分母：$W(9,10,11,10) = \binom{18}{9} \times \binom{19}{9} \times \binom{20}{9}$
• $k=1$项：$\binom{10}{1} \times \frac{\binom{16}{9} \times \binom{17}{9} \times \binom{18}{9}}{\binom{18}{9} \times \binom{19}{9} \times \binom{20}{9}} = 10 \times \frac{\binom{16}{9} \times \binom{17}{9}}{\binom{19}{9} \times \binom{20}{9}}$
• $k=2$项：$(-1)^3 \times \binom{10}{2} \times \frac{\binom{14}{9} \times \binom{15}{9} \times \binom{16}{9}}{\binom{18}{9} \times \binom{19}{9} \times \binom{20}{9}} = -45 \times \frac{\binom{14}{9} \times \binom{15}{9} \times \binom{16}{9}}{\binom{18}{9} \times \binom{19}{9} \times \binom{20}{9}}$
• $k=3$项：$(-1)^4 \times \binom{10}{3} \times \frac{\binom{12}{9} \times \binom{13}{9} \times \binom{14}{9}}{\binom{18}{9} \times \binom{19}{9} \times \binom{20}{9}} = 120 \times \frac{\binom{12}{9} \times \binom{13}{9} \times \binom{14}{9}}{\binom{18}{9} \times \binom{19}{9} \times \binom{20}{9}}$
• $k=4$项：$(-1)^5 \times \binom{10}{4} \times \frac{\binom{10}{9} \times \binom{11}{9} \times \binom{12}{9}}{\binom{18}{9} \times \binom{19}{9} \times \binom{20}{9}} = -210 \times \frac{\binom{10}{9} \times \binom{11}{9} \times \binom{12}{9}}{\binom{18}{9} \times \binom{19}{9} \times \binom{20}{9}}$

把这些项加起来就是最终的概率了。如果是球可区分的情况，替换$W$的计算方式即可，容斥的逻辑是一样的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Teodor Dyakov