嘿，这个问题的核心其实是找到一个恰当微分形式（也就是某个函数的外微分）来连接ω和它的平均化A(ω)——毕竟两个微分形式上同调等价的定义就是它们的差是恰当形式嘛。下面一步步来拆解：

先明确几个基础设定 #

为了符号更清晰，我们把S¹看作加法群ℝ/ℤ，旋转作用用$A_t(x) = x + t$表示（t∈[0,1]，对应S¹上的元素），那么平均化算子的定义可以写成：
$$A(ω) = \int_0^1 A_t^*ω , dt$$
这里的积分是对S¹上的Haar测度（也就是[0,1]上的勒贝格测度）做的，$A_t^*ω$是平移作用拉回的微分形式。

构造关键的辅助函数 #

我们定义一个函数$F: S¹ → ℝ$：
$$F(x) = \int_0^1 \int_0^s A_r^*ω(x) , dr , ds$$
简单来说，这是对平移拉回的ω做了两次累积积分，接下来我们要验证这个函数的外微分刚好等于A(ω) - ω。

计算F的外微分 #

对于S¹上的任意切向量（比如取标准切向量$\frac{d}{dx}$），函数F的微分$dF$作用在这个切向量上就是F对x的导数：
$$dF\left(\frac{d}{dx}\right) = \frac{d}{dx} F(x) = \frac{d}{dx} \int_0^1 \int_0^s ω(x+r) , dr , ds$$
交换求导和积分的顺序（因为ω是光滑的，满足莱布尼茨法则的条件），内层积分对x求导后得到$\int_0^s ω'(x+r) dr$，根据微积分基本定理，这个积分等于$ω(x+s) - ω(x)$。

所以代入后就有：
$$dF\left(\frac{d}{dx}\right) = \int_0^1 \left(ω(x+s) - ω(x)\right) ds = \int_0^1 A_s^ω(x) ds - ω(x) = A(ω)(x) - ω(x)$$
这就说明$dF = A(ω) - ω$，也就是$ω - A(ω) = -dF$——而$-dF$显然是一个恰当形式*（因为它是函数$-F$的外微分）。

结论 #

根据上同调等价的定义：如果两个微分形式的差是恰当形式，那么它们属于同一个上同调类。所以A(ω)和ω是上同调等价的。

另外补充一点：这个思路其实用到了同伦算子的思想，因为S¹上的旋转作用给出了恒等映射到自身的同伦，而同伦算子正是用来联系同伦映射拉回的微分形式，这里的平均化相当于对同伦族的拉回形式做积分，自然可以通过构造累积积分的函数来找到恰当形式的差。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mark Lee