首先，先明确我们的目标：已知连续函数$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$满足对任意$a\in \mathbb{R}$，存在严格递减序列${a_n}$（即$a_n > a$且$a_n \to a$），使得$|f(a_n)-f(a)| \leq a_n - a$，要证$\forall x,y\in\mathbb{R}$，$|f(x)-f(y)| \leq |x-y|$。

你已经假设了$x<y$（这很合理，因为绝对值的对称性，只需要证这个情况即可），并且想到了分割区间的思路——这个方向是对的，但我们可以结合反证法和构造辅助函数来让推导更清晰。

步骤1：构造辅助函数转化条件 #

先定义两个辅助函数：

• $g(t) = f(t) - t$
• $h(t) = f(t) + t$

把题目给的条件转化到这两个函数上：
对于任意$a\in\mathbb{R}$，存在$a_n > a$且$a_n\to a$，使得$|f(a_n)-f(a)| \leq a_n - a$。
拆解开绝对值不等式：

1. 对$g(t)$：$f(a_n)-f(a) \leq a_n - a$ → $f(a_n)-a_n \leq f(a)-a$ → $g(a_n) \leq g(a)$。也就是说：任意点$a$的右侧附近，存在趋近于$a$的点使得$g$的值不大于$g(a)$。
2. 对$h(t)$：$f(a)-f(a_n) \leq a_n - a$ → $f(a)+a \leq f(a_n)+a_n$ → $h(a) \leq h(a_n)$。也就是说：任意点$a$的右侧附近，存在趋近于$a$的点使得$h$的值不小于$h(a)$。

步骤2：用反证法证明$g$是不增函数 #

假设$g$不是不增函数，那么存在$a < b$，使得$g(b) > g(a)$。
定义集合$T = { t \in [a,b] \mid g(t) \leq g(a) }$，因为$a\in T$，所以$T$非空，且$T$有上界$b$，设$t_0 = \sup T$（即$T$的最小上界）。

根据$f$的连续性，$g$也是连续的，所以：

• $t_0 \in T$：因为存在序列$t_n \in T$，$t_n \to t_0$，所以$g(t_0) = \lim_{n\to\infty}g(t_n) \leq g(a)$。
• 对任意$t \in (t_0, b]$，$g(t) > g(a)$：因为$t_0$是$T$的上确界，任何大于$t_0$的点都不在$T$中。

现在，$t_0 < b$（因为$g(b) > g(a)$，所以$b\notin T$）。根据题目条件，对$t_0$，存在严格递减序列${t_n}$，$t_n > t_0$且$t_n \to t_0$，当$n$足够大时，$t_n \in (t_0, b]$，此时根据上面的结论，$g(t_n) > g(a)$，但题目条件又要求$g(t_n) \leq g(t_0) \leq g(a)$，这就产生了矛盾！

因此，$g$必须是不增函数，即对任意$x < y$，$g(y) \leq g(x)$，代入$g$的定义得：
$$f(y)-y \leq f(x)-x \implies f(y)-f(x) \leq y - x$$

步骤3：用同样方法证明$h$是不减函数 #

假设$h$不是不减函数，存在$a < b$，使得$h(b) < h(a)$。
定义集合$S = { t \in [a,b] \mid h(t) \geq h(a) }$，设$s_0 = \sup S$，同理可得：

• $s_0 \in S$，即$h(s_0) \geq h(a)$；
• 对任意$t \in (s_0, b]$，$h(t) < h(a)$。

而根据题目条件，对$s_0$，存在$s_n > s_0$且$s_n \to s_0$，当$n$足够大时$s_n \in (s_0, b]$，此时$h(s_n) < h(a)$，但条件要求$h(s_n) \geq h(s_0) \geq h(a)$，矛盾！

因此，$h$是不减函数，即对任意$x < y$，$h(y) \geq h(x)$，代入$h$的定义得：
$$f(y)+y \geq f(x)+x \implies f(y)-f(x) \geq x - y$$

步骤4：合并结论得到最终不等式 #

结合步骤2和步骤3的结论，对任意$x < y$：
$$x - y \leq f(y)-f(x) \leq y - x$$
两边取绝对值，就得到：
$$|f(x)-f(y)| \leq |x-y|$$

这就完成了整个证明。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Problemsolving