1. 如何判定一个李群是否为单连通李群？ #

要判断一个李群是不是单连通的，咱可以从李代数对应关系和拓扑基本群两个核心方向来拆解，这俩方法互补，用起来很顺手：

• 从李代数的“唯一单连通对应”入手
  每个有限维实李代数都对应着唯一的单连通李群，其他所有连通李群都是这个单连通李群的商群（商掉中心里的离散子群）。所以你先找到目标李群G的李代数𝔤，再看G是不是恰好等于𝔤对应的那个单连通李群——如果是，那G就是单连通的；如果G是这个单连通李群的非平凡商群，那它肯定不是单连通的。
  还有个实用的小技巧：连通李群是单连通的当且仅当它的所有不可约复表示都是单值的。要是你发现某个表示是多值的（比如旋量表示那种，绕一圈回来相位变了），那G绝对不是单连通的。

• 直接计算拓扑基本群
  单连通的定义就是拓扑空间的基本群π₁(G)是平凡群（只有单位元）。所以如果你能算出G的基本群，那结果一目了然。比如SU(n)的基本群是平凡的，所以它是单连通的；SO(n)（n≥3）的基本群是Z/2Z，就不是单连通的。另外，连通李群的覆盖空间也是李群，如果G没有非平凡的连通覆盖（意思是任何覆盖映射都是同构），那它肯定是单连通的。

2. 由四元数矩阵构成的李群，如何判定是否存在同源覆盖？ #

首先得明确：非平凡同源覆盖的存在性，等价于这个连通李群的基本群是非平凡的有限群。因为同源覆盖对应的是核有限的满同态（isogeny），而单连通覆盖到G的映射核正好是π₁(G)，所以只要π₁(G)是非平凡有限群，那单连通覆盖就是G的一个同源覆盖；如果π₁(G)无限，那就不存在这样的覆盖了。

针对四元数矩阵构成的李群，你可以按这几步来操作：

• 第一步：先搞定G的李代数
  四元数矩阵群的李代数就是单位元处的切空间，你可以通过对群中元素做微分（比如取t=0处的导数，群元素写成exp(tX)的形式，X就是李代数元素）来得到。比如四元数特殊酉群Sp(n)的李代数是满足X + X^† = 0的四元数矩阵（†是共轭转置）。拿到李代数𝔤后，找到它对应的唯一单连通李群H。

• 第二步：对比G和H的商群关系
  连通李群G一定是H的商群，也就是G ≅ H / Γ，其中Γ是H中心里的离散子群，而这个Γ正好同构于π₁(G)。这时候看Γ：

  • 如果Γ是非平凡的有限群，那H就是G的同源覆盖（因为H到G的商映射是isogeny，核Γ有限）；
  • 如果Γ是平凡群，那G本身就是单连通的，不存在非平凡同源覆盖；
  • 如果Γ是无限离散群，那G的基本群无限，这时候就没有同源覆盖了。

• 实用的经验技巧
  四元数李群的中心通常是离散的，比如Sp(n)的中心是{±I}（n≥1），但Sp(n)本身是单连通的，商掉中心得到的PSp(n)基本群是Z/2Z，所以PSp(n)就有同源覆盖Sp(n)。再比如，如果你的G同构于SO(3)（它可以用四元数矩阵表示），那它的基本群是Z/2Z，对应的同源覆盖就是SU(2)（也就是Sp(1)）。
  另外你还可以看表示的单值性：如果G有某个不可约复表示是多值的，那说明它有非平凡基本群，只要这个基本群有限，就存在同源覆盖。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Watson Ladd