求证0<x<π/2时sin(x)<x<tan(x)及阿基米德相关证明思路

阿华AIGC实验室

2026-5-19

几何法证明0<x<π/2时sin(x)<x<tan(x)及阿基米德的周长推导思路

咱们先从单位圆的几何关系入手，一步步证明这个经典的三角不等式，再聊聊阿基米德是怎么用它来推导圆与多边形周长关系的～

一、用单位圆面积关系证明sin(x)<x<tan(x)

要证明这个不等式，完全不需要微积分，靠单位圆里的图形包含关系就能搞定：

搭建辅助图形
画一个圆心在原点O、半径为1的单位圆。取0<x<π/2的圆心角∠AOB=x，其中A点在x轴正半轴（坐标(1,0)），B点在单位圆上（坐标(cosx, sinx)）：
- 过B作x轴的垂线BC，垂足为C，这样BC=sinx，OC=cosx；
- 过A点作单位圆的切线，这条切线和OB的延长线交于T点（因为切线垂直于半径OA，所以AT=tanx）。
利用面积大小关系推导
你一眼就能看出这三个图形的包含关系：△OAB完全在扇形OAB里面，扇形OAB又完全在△OAT里面。所以它们的面积满足：
$$ S_{\triangle OAB} < S_{\text{扇形}OAB} < S_{\triangle OAT} $$
分别计算三个图形的面积：
- △OAB的面积：以OA为底（长度1），BC为高（长度sinx），面积是 $\frac{1}{2} \times 1 \times \sin x = \frac{1}{2}\sin x$；
- 扇形OAB的面积：用扇形面积公式 $\frac{1}{2}r^2\theta$（r=1，θ=x是弧度），得到 $\frac{1}{2}x$；
- △OAT的面积：以OA为底（长度1），AT为高（长度tanx），面积是 $\frac{1}{2} \times 1 \times \tan x = \frac{1}{2}\tan x$。
把面积代入不等式，两边都乘2，直接得到：
$$ \sin x < x < \tan x $$
完美，这个不等式就用纯几何方法证完了！

二、阿基米德如何用这个不等式推导圆与多边形的周长关系

阿基米德的核心想法是用正多边形的周长逼近圆周长，而上面的不等式就是他证明“内接多边形周长小于圆周长，外切多边形周长大于圆周长”的关键工具，具体思路如下：

1. 内接正n边形周长 < 圆周长

拿单位圆的内接正n边形来说，我们把圆分成n个相等的圆心角，每个角是 $\theta = \frac{2\pi}{n}$（当n≥3时，$\frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{n}$ 肯定在0到π/2之间，刚好能用我们的不等式）。

内接正n边形的每条边长是 $a_n = 2\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$（用三角函数算弦长的公式）；
整个多边形的周长 $P_n = n \times a_n = 2n\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$。

套用我们刚证的 $\sin x < x$，令 $x = \frac{\pi}{n}$，就有：
$$ \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) < \frac{\pi}{n} $$
两边乘2n，得到：
$$ 2n\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) < 2\pi $$
而单位圆的周长就是 $2\pi$，所以：
$$ P_n < 2\pi $$
这就证明了内接正n边形的周长一定小于圆周长。

2. 外切正n边形周长 > 圆周长

再看单位圆的外切正n边形，同样把圆分成n个相等的圆心角 $\theta = \frac{2\pi}{n}$：

外切正n边形的每条边长是 $b_n = 2\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$（用三角函数算外切边长的公式）；
整个多边形的周长 $Q_n = n \times b_n = 2n\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$。

这次套用不等式 $x < \tan x$，令 $x = \frac{\pi}{n}$，得到：
$$ \frac{\pi}{n} < \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) $$
两边乘2n，得到：
$$ 2\pi < 2n\tan\left(\frac{\pi}{n}\right) $$
也就是：
$$ 2\pi < Q_n $$
这就证明了外切正n边形的周长一定大于圆周长。