Got it，我来一步步推导这个场景下OLS估计量$b_1$的偏误，帮你明确当$X_3$和$X_2$相关但和$X_1$无关时的情况：

前提设定 #

首先明确两个核心模型和关键假设：

• 真实数据生成过程（DGP）：
  $$Y=\alpha +\beta_{1} X_{1}+\beta_{2} X_{2}+\beta_{3} X_{3}+u$$
  满足经典OLS严格外生性假设：$E[u|X_1,X_2,X_3]=0$，解释变量在重复抽样下固定（或非随机）。
• 估计模型：因遗漏变量$X_3$，我们实际估计的模型为：
  $$Y=\alpha +\beta_{1} X_{1}+\beta_{2} X_{2}+v$$
  其中$v = \beta_3 X_3 + u$，即遗漏的$X_3$对$Y$的影响被纳入了扰动项$v$中。
• 场景假设：$Cov(X_3,X_1)=0$（$X_3$与$X_1$无关），但$Cov(X_3,X_2) \neq 0$（$X_3$与$X_2$相关）。

OLS估计量$b_1$的表达式推导 #

对于二元回归（$Y$对$X_1,X_2$回归），$X_1$的OLS估计量$b_1$有一个关键性质：它可以分解为真实系数$\beta_1$加上扰动项与$X_1$的协方差项，即：
$$b_1 = \beta_1 + \frac{\sum_{i=1}^n (X_{1i}-\bar{X}1)v_i}{\sum{i=1}^n (X_{1i}-\bar{X}_1)^2}$$
这个式子来自OLS的正交性条件：残差与解释变量正交，整理后即可得到。

将$v_i = \beta_3 X_{3i} + u_i$代入上式，展开后得到：
$$b_1 = \beta_1 + \beta_3 \cdot \frac{\sum_{i=1}^n (X_{1i}-\bar{X}1)X{3i}}{\sum_{i=1}^n (X_{1i}-\bar{X}1)^2} + \frac{\sum{i=1}^n (X_{1i}-\bar{X}1)u_i}{\sum{i=1}^n (X_{1i}-\bar{X}_1)^2}$$

计算偏误（$E[b_1] - \beta_1$） #

我们需要计算$b_1$的条件期望（以$X_1,X_2,X_3$为条件，对应重复抽样下的期望）：

1. 最后一项的期望为0：根据严格外生性假设$E[u|X_1,X_2,X_3]=0$，$\sum_{i=1}^n (X_{1i}-\bar{X}_1)u_i$的条件期望为0，因此这一项消失。
2. 针对$\beta_3$的系数项：题目设定$X_3$与$X_1$无关，即$Cov(X_1,X_3)=0$。而$\sum_{i=1}^n (X_{1i}-\bar{X}1)X{3i}$等价于$(n-1)Cov(X_1,X_3)$（因为$\sum_{i=1}^n (X_{1i}-\bar{X}_1)\bar{X}_3=0$），所以这一项等于0。

因此，$b_1$的条件期望为：
$$E[b_1 | X_1,X_2,X_3] = \beta_1$$

最终结论 #

偏误$bias = E[b_1] - \beta_1 = 0$，因此：
$$b_1 = \beta_1 + 0$$

这意味着：即使遗漏了与$X_2$相关的变量$X_3$，只要$X_3$与$X_1$无关，$X_1$的OLS估计量$b_1$就不会有偏误，估计值的期望等于真实系数$\beta_1$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者firemind