哈哈，这个问题我之前帮朋友梳理过，硬展开高次多项式确实太折磨人了！用**牛顿恒等式（Newton's Identities）**来处理这类幂和问题绝对是最优解，步骤清晰还不用算一堆繁琐的交叉项，咱们来一步步拆解：

牛顿恒等式的核心是通过初等对称多项式来递推高次幂和，完美适配这类多个变量的幂和求解问题。

第一步：先确定初等对称多项式 #

已知：

• $S_1 = x+y+z = 3$
• $S_2 = x^2+y2+z^2 = 5$
• $S_3 = x^3+y3+z^3 = 7$

我们先算出三个初等对称多项式$\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$（分别对应：$\sigma_1=x+y+z$，$\sigma_2=xy+yz+zx$，$\sigma_3=xyz$）：

• $\sigma_1 = S_1 = 3$，直接对应已知条件
• 利用公式$S_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$，变形得$\sigma_2 = \frac{\sigma_1^2 - S_2}{2} = \frac{3^2 -5}{2} = 2$，和你计算的结果一致
• 再用牛顿恒等式的低次形式：$S_3 = \sigma_1S_2 - \sigma_2S_1 + 3\sigma_3$，代入数值计算：
  $$7 = 35 - 23 + 3\sigma_3$$
  化简后得到$3\sigma_3 = 7 - 9 = -2$，所以$\sigma_3 = -\frac{2}{3}$，和你得到的$xyz$结果完全相同。

第二步：递推计算高次幂和 #

对于$n \geq 4$，牛顿恒等式的通用递推公式是：
$$S_n = \sigma_1S_{n-1} - \sigma_2S_{n-2} + \sigma_3S_{n-3}$$
这个公式的妙处在于，只用低次幂和就能推导高次幂和，完全不用展开复杂的高次多项式！

计算$S_4 = x^4+y4+z^4$ #

代入公式和已知数值：
$$S_4 = 3S_3 - 2S_2 + (-\frac{2}{3})S_1$$
$$S_4 = 37 - 2*5 + (-\frac{2}{3})*3 = 21 -10 -2 = 9$$
直接就得到了要证明的第一个结论！

计算$S_5 = x^5+y5+z^5$ #

同样用递推公式：
$$S_5 = 3S_4 - 2S_3 + (-\frac{2}{3})S_2$$
代入数值：
$$S_5 = 39 - 2*7 + (-\frac{2}{3})*5 = 27 -14 - \frac{10}{3} = \frac{29}{3} \approx 9.666...$$
显然$\frac{29}{3} \neq 11$，第二个结论也轻松得证。

为什么这个方法更优？ #

• 彻底避免了硬展开$(x+y+z)^{4$、$(x+y+z)}5$时的大量交叉项计算，大幅降低出错概率
• 递推逻辑清晰，对于更高次的幂和（比如$S_6, S_7$）也能快速计算，扩展性极强
• 本质上是利用了对称多项式的结构性质，比 brute-force 的展开法更贴合这类问题的数学本质

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MelaniesWoes