我来给你梳理下推导弹簧弹力做功时的关键逻辑和具体做法哈：

核心难点 #

弹簧的弹力${\bf F}$是变力（并非恒定矢量），没办法直接从积分式中提取出来简化计算，这是我们推导时遇到的最大障碍。

解决方法：微元法 #

我们可以借助微元法来拆解这个问题，具体的场景设定如下：

• 将弹簧一端固定在竖直支架上，另一端连接一个能在光滑水平桌面上自由移动的滑块（光滑桌面可以消除摩擦力的影响，让我们只聚焦在弹簧弹力上）
• 把坐标原点设定在弹簧处于原长时滑块的位置，这样滑块的位置坐标$x$就直接对应弹簧的形变量，方便后续计算

微元区间的做功计算 #

我们先着眼于滑块从位置$x$移动到$x+dx$的极小位移区间：

• 在这个微小区间内，弹簧的形变量变化极其微小，弹力可以近似看作恒定不变的（毕竟$dx$足够小，弹力的变化可以忽略不计）
• 此时这个微元过程中弹力做的功$dW$就可以用恒力做功的公式计算：dW = F·dx，结合胡克定律$F = -kx$（负号表示弹力方向与位移方向相反），就能得到dW = -kx·dx
• 之后只需要对这个微元功从初始位置到末位置进行积分，就能得到整个过程中弹簧弹力做的总功了

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