嘿，我来一步步帮你搞定这个带初始条件的相图绘制问题，结合你给的线性方程组实例拆解清楚～

一、先梳理你已经搞定的关键信息 #

你已经完成了相图绘制最核心的计算部分，先把这些信息理清楚：

• 给定的线性方程组：
  $$\frac{dx}{dt} = -3x$$
  $$\frac{dy}{dt} = -x + 2y$$
• 初始条件：$Y(0)=\binom{-2}{1}$
• 特征值：$\lambda_1=-3$（稳定，因为值为负），$\lambda_2=2$（不稳定，值为正）
• 对应特征向量：$\vec{v_1}=(5,1)$，$\vec{v_2}=(0,1)$

二、分步骤绘制相图&时间曲线 #

1. 先画特征向量对应的「不变直线」 #

这些直线是相图的“骨架”，解会沿着这些直线的方向运动：

• 特征向量$\vec{v_2}=(0,1)$对应x=0（也就是y轴）：所有在y轴上的点，解都会沿着y轴运动
• 特征向量$\vec{v_1}=(5,1)$对应的直线其实是$y=\frac{1}{5}x$（你提到的$y=5x$应该是把向量的x/y分量搞反啦，不过没关系，核心逻辑是一致的）：这条直线上的解会沿着直线方向移动

然后给每条直线加方向箭头：

• 对应特征值$\lambda=-3$的直线（比如$y=\frac{1}{5}x$）：因为特征值为负，当t增大时，解会指向原点（指数项$e^{-3t}$会逐渐趋近于0）
• 对应特征值$\lambda=2$的直线（x=0，y轴）：特征值为正，当t增大时，解会远离原点（指数项$e^{2t}$会越来越大，y正方向向上跑，y负方向向下跑）

2. 绘制相平面的解曲线（轨线） #

因为我们的特征值一正一负，这个平衡点是鞍点，解的一般形式是：
$$Y(t) = C_1 e^{-3t} \begin{pmatrix}5\1\end{pmatrix} + C_2 e^{2t} \begin{pmatrix}0\1\end{pmatrix}$$
代入初始条件$Y(0)=\binom{-2}{1}$，可以算出系数：
$$\begin{cases}5C_1 = -2 \ C_1 + C_2 = 1\end{cases}$$
解得$C_1=-\frac{2}{5}$，$C_2=\frac{7}{5}$

现在可以得到具体的轨线趋势：

• 当$t→+∞$时，$e^{-3t}→0$，解会趋近于$(0, \frac{7}{5}e^{2t})$，也就是沿着y轴正方向远离原点
• 当$t→-∞$时，$e^{{2t}→0$，解会趋近于$C_1e}{-3t}\vec{v_1}$，也就是沿着$\vec{v_1}$的反方向（因为$C_1$为负）向左下无限延伸
• 初始点是$(-2,1)$，先在相平面上找到这个点，然后沿着上面的趋势画曲线：从左下方向y轴正方向弯曲，经过$(-2,1)$，最终向y轴正方向无限延伸

3. 绘制x(t)和y(t)的时间图像 #

直接从解的表达式提取：

• x(t)曲线：$x(t) = -2e^{-3t}$，这是一条从$x=-2$开始，随着t增大逐渐趋近于0的曲线（始终为负，从下方靠近0）；当$t→-∞$时，x会趋向负无穷
• y(t)曲线：$y(t) = -\frac{2}{5}e^{-3t} + \frac{7}{5}e^{{2t}$，t=0时y=1；t增大时，$e}{2t}$主导，y会快速增长到正无穷；t减小时，$e^{-3t}$主导，y会趋向负无穷，可以多算几个点辅助绘制，比如t≈0.35时y≈2.66，t≈-0.23时y≈0.08

三、通用绘制流程总结 #

不管是哪个线性方程组，带初始条件的相图绘制都可以按这个步骤来：

• 第一步：计算特征值和特征向量，判断平衡点类型（鞍点、结点、焦点等）
• 第二步：画出特征向量对应的不变直线，根据特征值正负标注箭头方向（正→远离原点，负→指向原点）
• 第三步：利用初始条件求出解的具体表达式，分析轨线的趋势，或者消去t得到轨线方程后绘制
• 第四步：分别提取x(t)和y(t)，绘制随时间t变化的曲线，标注初始点和趋势

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lorncat