Hey there, let's walk through each of your questions one by one to demystify those steps in the limit proof for e:

问题1：变量从$h$替换为$x$的意义与区别 #

变量替换在这里其实就是换个符号名称，本质上没有任何数学区别。$h$和$x$都是用来代表"趋近于0的任意小量"的占位符。这么做通常是出于两个原因：

• 符合多数教材/推导里的变量使用习惯（很多时候我们更常用$x$作为通用变量）；
• 避免和后续推导中可能出现的其他符号（比如增量符号$\Delta h$）混淆。
  不管叫$h$还是$x$，它们都描述了同一个趋近过程，极限的结果和变量名称完全无关。

问题2：从$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - \ln(1)}{x}$到$\lim_{x \to 0} \left[\frac{1}{x} \cdot \ln(1+x)\right]$的推导 #

这一步就是基础的代数化简，核心是利用对数的基本性质：$\ln(1) = 0$。
把$\ln(1)$替换成0之后，分子就变成了$\ln(1+x) - 0 = \ln(1+x)$，整个分式自然就等价于$\frac{\ln(1+x)}{x}$，也就是$\frac{1}{x} \cdot \ln(1+x)$。没有用到任何复杂的极限规则，只是代入了一个已知的对数常数值而已。

问题3：从$e^{\lim_{x \to 0} \ln(1+x)^{1/x}}$到$\lim_{x \to 0} e^{\ln(1+x){1/x}}$的依据 #

这一步的核心是连续函数的极限交换性质：如果函数$f(t)$在点$a$处连续，且$\lim_{x \to c} g(x) = a$，那么$\lim_{x \to c} f(g(x)) = f(\lim_{x \to c} g(x))$。

在这里，外层函数$f(t) = e^t$是一个在全体实数域上都连续的函数，内层函数$g(x) = \ln(1+x)^{{1/x}$（也可以写成$\frac{1}{x}\ln(1+x)$，两者等价）。因为$e}t$连续，所以我们可以合法地把极限符号从指数函数的外面"移到"里面，也就是交换$e^·$和极限的运算顺序。简单来说，连续函数不会打乱极限的运算逻辑，所以这个操作是完全严谨的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jwan622