嘿，我来一步步拆解你的问题——先讲清楚连接体作用力的通用分析方法，再针对你这个杠铃系统具体分析，最后给你控制系统的设计思路：

分析连接体之间的内力，核心就是隔离法，配合运动约束和动力学方程，步骤大概是这样：

• 拆分系统：把每个连接的物体单独隔离出来，画受力图，标注所有外力（比如重力、控制力）和连接件的作用力（比如杆的拉力/推力、扭矩）。
• 找运动约束：连接体的运动不是独立的，比如刚性杆连接的两个物体，它们的平动加速度、角加速度之间有固定关联，这是列方程的关键。
• 联立动力学方程：对平动物体用牛顿第二定律 F=ma，对转动的刚体用转动定律 τ=Iα，结合牛顿第三定律（作用力与反作用力大小相等方向相反），就能解出连接件的内力。

先明确你的系统参数：两个1kg实心球（半径1m），球心间距10m，无质量刚性杆连接，放在无摩擦水平面上（竖直方向重力和支持力平衡，不用考虑）。现在要控制其中一个球（就叫A球）的球心固定，咱们来分析内力和外力的关系：

1. A球的受力与约束
   A球心固定，所以平动加速度为0，假设我们对A施加控制力 F_ctrl 和控制扭矩 τ_ctrl，同时杆对A有作用力 F_rod 和作用力矩 τ_rod：

   • 平动方向：根据牛顿第二定律，F_ctrl + F_rod = m_A a_A，因为a_A=0，所以 F_rod = -F_ctrl（杆对A的力和控制力大小相等、方向相反）。
   • 转动方向：A的角加速度设为α，实心球的转动惯量 I = (2/5)mr²，这里m=1kg、r=1m，所以I_A = 2/5 kg·m²。根据转动定律：τ_ctrl + τ_rod = I_A α。

2. B球的受力与关联
   根据牛顿第三定律，杆对B的作用力是 -F_rod，作用力矩是 -τ_rod：

   • 平动方向：B的加速度 a_B 满足 -F_rod = m_B a_B，因为m_B=1kg，代入F_rod=-F_ctrl，可得 a_B = F_ctrl（控制力直接决定了B的平动加速度）。
   • 转动方向：因为杆是刚性无质量的，A和B的角加速度必须相等（杆不会扭转），即α_B=α。对B列转动方程：-τ_rod = I_B α，而I_B=I_A，所以τ_rod = -I_A α。把这个代入A的转动方程，就能得到 τ_ctrl = 2I_A α，也就是说，控制扭矩直接决定了两个球的角加速度。

要让A球心始终固定，需要结合位置反馈和姿态反馈来设计控制系统：

1. 平动位置控制（保证球心不动）

   • 给A球安装位置传感器，实时检测其球心坐标(x_A, y_A)，和目标固定位置(x0, y0)对比，得到位置偏差Δx = x_A - x0、Δy = y_A - y0。
   • 用PID控制器计算需要的控制力：比如x方向的控制力 F_x = -Kp_x Δx - Ki_x ∫Δx dt - Kd_x d(Δx)/dt，y方向同理。这里的负号是为了实现负反馈——如果A往x正方向偏，就施加x负方向的力拉回来，抵消杆的作用力，让A的平动加速度回到0。

2. 转动姿态控制（可选，根据需求调整）

   • 如果需要控制A的转动（或者间接控制B的转动），安装角速度传感器检测A的角速度ω_A，设定目标角速度ω0（比如0，让A保持不转），得到角速度偏差Δω = ω_A - ω0。
   • 同样用PID控制器计算控制扭矩：τ = -Kp_τ Δω - Ki_τ ∫Δω dt - Kd_τ d(Δω)/dt。这个扭矩会通过杆传递给B，让两个球保持同步转动。

3. 无摩擦平面的注意点
   因为平面没有摩擦力，水平方向没有额外阻力，所以控制力的所有分量都会直接转化为杆的内力，驱动B运动。不需要考虑摩擦力补偿，这反而简化了控制逻辑。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sak