你遇到的问题应该是在围道积分的分母化简阶段出错了，导致后续无法正确找到极点计算留数。下面我带你一步步用留数法解决这个积分，同时也会补充一个基于已知积分结果的导数方法（本质还是依赖复分析推导的基础积分）。

首先，我们处理积分 $\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{\left( 3+2\sin(t)\right )^2}dt$：

步骤1：转化为单位圆围道积分 #

令 $z=e^{it}$，则 $dt=\frac{dz}{iz}$，$\sin t=\frac{z-z^{-1}}{2i}$，代入原式可得：
$$
\oint_{|z|=1} \frac{1}{\left(3 + 2\cdot\frac{z-z^{{-1}}{2i}\right)}2} \cdot \frac{dz}{iz}
$$

先化简分母里的括号部分：
$$
3 + \frac{z-z^{-1}}{i} = \frac{3iz + z^2 - 1}{iz}
$$
平方后得到：
$$
\left(3 + \frac{z-z^{{-1}}{i}\right)}2 = \frac{(z^2 + 3iz - 1)^2}{-z2}
$$

将其代回围道积分，化简后得到：
$$
\oint_{|z|=1} \frac{-z}{i(z^2 + 3iz - 1)^2} dz = i \oint_{|z|=1} \frac{z}{(z^2 + 3iz - 1)^2} dz
$$

步骤2：确定单位圆内的极点 #

求解分母的二次方程 $z^2 + 3iz - 1=0$，用求根公式得：
$$
z = \frac{-3i \pm \sqrt{(3i)^2 + 4}}{2} = i \cdot \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}
$$

计算两个根的模长：

• $z_1 = i \cdot \frac{-3+\sqrt{5}}{2}$：$\sqrt{5}\approx2.236$，所以模长约为 $\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx0.382 < 1$，在单位圆内，是二阶极点；
• $z_2 = i \cdot \frac{-3-\sqrt{5}}{2}$：模长约为 $\frac{3+\sqrt{5}}{2}\approx2.618 > 1$，在单位圆外，无需考虑。

步骤3：计算二阶极点的留数 #

对于二阶极点 $z_1$，留数公式为：
$$
\text{Res}[f(z), z_1] = \lim_{z\to z_1} \frac{d}{dz}\left( (z-z_1)^2 f(z) \right)
$$
其中 $f(z)=\frac{z}{(z^2 + 3iz - 1)^2}$，代入后化简（利用二次方程根与系数关系 $z_1+z_2=-3i$，$z_1-z_2=i\sqrt{5}$），最终得到：
$$
\text{Res}[f(z), z_1] = -\frac{3}{5\sqrt{5}}
$$

步骤4：应用留数定理计算积分 #

根据留数定理，围道积分等于 $2\pi i$ 乘以单位圆内所有极点的留数之和，代入后计算：
$$
i \times 2\pi i \times \left(-\frac{3}{5\sqrt{5}}\right) = \frac{6\pi}{5\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}\pi}{25}
$$

补充方法：利用已知积分的导数 #

如果你已经通过复分析知道 $\int_0^{2\pi}\frac{dt}{a+b\sin t}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b2}}$（当 $a>|b|$ 时），可以对 $a$ 求导快速得到结果：
令 $I(a)=\int_0^{2\pi}\frac{dt}{a+b\sin t}$，则 $-I'(a)=\int_0^{2\pi}\frac{dt}{(a+b\sin t)^2}$。对 $I(a)$ 求导后代入 $a=3,b=2$，同样得到 $\frac{6\sqrt{5}\pi}{25}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ivanculet