问题1：n=7时，无重复数字车牌中首数字为最大数字的占比 #

我们可以从两个角度来拆解这个问题，结论一致且易懂：

角度1：对称性简化分析 #

对于任意一组7个不同的数字，它们的所有排列（对应车牌）中，每个数字出现在首位的概率是完全均等的——因为排列具有对称性，没有任何位置会偏向某个数字。这组数字里的最大数字自然也不例外，它出现在首位的概率就是 1/7。

由于所有无重复数字的车牌本质上是所有7元数字子集的排列集合，每个子集的排列中符合条件的比例都是 1/7，因此整体的占比就是 1/7。

角度2：直接计算验证 #

• 总无重复7位车牌数：从10个数字中选7个并排列，即排列数 P(10,7) = 10×9×8×7×6×5×4 = 604800。
• 符合条件的车牌数：
  • 当最大数字为6时：只能选0-6这7个数字，首数字固定为6，剩余6个数字排列，共 6! = 720 种。
  • 当最大数字为7时：从0-6中选6个数字+7，首数字固定为7，剩余6个排列，共 C(7,6)×6! = 7×720 = 5040 种。
  • 当最大数字为8时：从0-7中选6个数字+8，首数字固定为8，剩余6个排列，共 C(8,6)×6! = 28×720 = 20160 种。
  • 当最大数字为9时：从0-8中选6个数字+9，首数字固定为9，剩余6个排列，共 C(9,6)×6! = 84×720 = 60480 种。
• 符合条件的总数：720 + 5040 + 20160 + 60480 = 86400。
• 占比：86400 / 604800 = 1/7，和对称性分析的结论完全一致。

问题2：n=7时，首数字为最大数字的无重复车牌中，尾数字为第二大数字的占比 #

同样用两种思路验证，结果清晰明确：

角度1：对称性简化分析 #

当首数字固定为最大数字后，剩余的6个位置是剩下6个数字的全排列。这6个数字中的第二大数字（也就是整个车牌的第二大数字）在剩余6个位置中出现的概率是均等的，因此它出现在尾位的概率就是 1/6。

角度2：直接计算验证 #

• 首数字为最大数字的车牌总数：我们已经算出是86400。
• 符合尾数字为第二大数字的车牌数：
  • 最大数字为6时：第二大数字是5，首6尾5，剩余5个数字排列，共 5! = 120 种。
  • 最大数字为7时：
    • 所选6个数字包含6（共6种组合）：第二大数字是6，首7尾6，剩余5个排列，共 6×5! = 720 种。
    • 所选6个数字不包含6（仅1种组合：0-5）：第二大数字是5，首7尾5，剩余5个排列，共 1×5! = 120 种。
    • 合计：720 + 120 = 840 种。
  • 最大数字为8时：
    • 所选6个数字包含7（共21种组合）：第二大数字是7，首8尾7，剩余5个排列，共 21×5! = 2520 种。
    • 所选6个数字不包含7（共7种组合）：第二大数字是6，首8尾6，剩余5个排列，共 7×5! = 840 种。
    • 合计：2520 + 840 = 3360 种。
  • 最大数字为9时：
    • 所选6个数字包含8（共56种组合）：第二大数字是8，首9尾8，剩余5个排列，共 56×5! = 6720 种。
    • 所选6个数字不包含8（共28种组合）：第二大数字是7，首9尾7，剩余5个排列，共 28×5! = 3360 种。
    • 合计：6720 + 3360 = 10080 种。
• 符合条件的总数：120 + 840 + 3360 + 10080 = 14400。
• 占比：14400 / 86400 = 1/6，和对称性分析的结论一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lucky12456