没问题，我来一步步给你梳理这个证明过程～

首先先明确两个关键的前置结论，帮我们简化推导：

• 拓扑向量空间（TVS）上的线性泛函整体连续等价于它在原点0处连续（这是TVS线性映射的核心性质，因为线性性自带平移不变性，只要在0点连续，就能推导出在整个空间上连续，反过来也成立）；
• 线性泛函必然满足f(0)=0（代入x=0，由线性性f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)，两边减f(0)就能得到f(0)=0）。

接下来用连续的定义推导：

1. 利用TVS中映射连续的邻域定义：
   因为f在0点连续，对于任意给定的正数ε>0（比如我们直接取ε=1，更直观），一定存在0点的一个邻域U⊆X，使得对所有x∈U，都有|f(x) - f(0)| < ε。
2. 结合线性泛函的性质简化不等式：
   代入f(0)=0，上面的不等式直接简化为：

   对所有x∈U，|f(x)| < 1

3. 得出结论：
   这里的U就是0点的一个邻域，而f在U上的绝对值都小于1，也就是说f在U上是有界的（界取1即可）。

如果要严格对应“有界”的定义（存在M>0，使得对所有x∈U，|f(x)|≤M），取M=1完全满足要求，整个推导逻辑就闭环了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Answer Lee