嘿，我来帮你搞定这个矩阵的正半正定证明问题！其实不用硬啃所有子式的行列式，有好几种更直观的方法，当然也会给你讲清楚子式法的具体操作，咱们一步步来：

方法一：利用正半正定的核心定义（二次型非负） #

这是最直接的路径，正半正定矩阵的定义是：对任意实数向量 $\boldsymbol{y} = (y_1, y_2, ..., y_n)^T \in \mathbb{R}^n$，都有 $\boldsymbol{y}^T A \boldsymbol{y} \geq 0$。

首先把你的矩阵简化一下：令 $\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, ..., x_n)^T$，记欧几里得范数 $||\boldsymbol{x}|| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}$，那么原矩阵可以写成：
$$A = \frac{1}{||\boldsymbol{x}||^3} \boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^T$$

现在计算二次型：
$$
\begin{align*}
\boldsymbol{y}^T A \boldsymbol{y} &= \boldsymbol{y}^T \left( \frac{1}{||\boldsymbol{x}||^3} \boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^T \right) \boldsymbol{y} \
&= \frac{1}{||\boldsymbol{x}||^3} (\boldsymbol{y}^T \boldsymbol{x})(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{y}) \
&= \frac{1}{||\boldsymbol{x}||^3} (\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{y})^2
\end{align*}
$$

• 如果 $\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$，分母 $||\boldsymbol{x}||^3 > 0$，分子是实数的平方，必然非负，所以 $\boldsymbol{y}^T A \boldsymbol{y} \geq 0$；
• 如果 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$，原矩阵是零矩阵，显然对任意 $\boldsymbol{y}$ 都有 $\boldsymbol{y}^T A \boldsymbol{y} = 0$，满足正半正定。

直接从定义出发，一步就搞定了！

方法二：子式行列式法（你提到的思路） #

如果一定要用子式行列式来证明，咱们可以利用这个矩阵的特殊结构：它是秩1矩阵（$\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^T$ 的秩最多为1），所以有以下性质：

1. 1阶子式（对角元）：每个对角元是 $\frac{x_i^{2}{||\boldsymbol{x}||}3}$，显然是非负的（平方数除以正数，或者当 $\boldsymbol{x}=0$ 时为0）；
2. k阶子式（k≥2）：对于秩1矩阵，所有阶数大于秩的子式行列式都为0。咱们来验证2阶的情况：取任意两行两列，比如第i行第j行、第i列第j列，子式的行列式是：
   $$
   \det\left( \begin{bmatrix} \frac{x_i^{2}{||\boldsymbol{x}||}3} & \frac{x_i x_j}{||\boldsymbol{x}||^3} \ \frac{x_j x_i}{||\boldsymbol{x}||^3} & \frac{x_j^{2}{||\boldsymbol{x}||}3} \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{||\boldsymbol{x}||^6}(x_i2 x_j^2 - x_i x_j x_i x_j) = 0
   $$
   更高阶的子式同理，行列式全为0。

而正半正定矩阵的判定条件之一是所有顺序主子式非负，这里所有顺序主子式要么是非负的1阶子式，要么是0，完全满足条件，所以矩阵是正半正定的。

方法三：特征值法 #

另一个直观的方法是看矩阵的特征值：

• 秩1矩阵 $\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^T$ 的特征值为 $||\boldsymbol{x}||^2$（一重非零特征值）和0（n-1重特征值）；
• 原矩阵A是 $\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^T$ 乘以常数 $\frac{1}{||\boldsymbol{x}||^3}$，所以A的特征值为 $\frac{||\boldsymbol{x}||^{2}{||\boldsymbol{x}||}3} = \frac{1}{||\boldsymbol{x}||} > 0$（当 $\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$）和0（n-1重）；
• 当 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 时，所有特征值都是0。

所有特征值非负，这也是正半正定矩阵的充要条件，完美证明。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sorey