这是概率计算里一个很经典的「反向思维」应用场景——直接枚举「至少一人中奖」的所有情况（比如第一次有人中、第二次有人中、多次开奖都有人中）会非常繁琐，但反过来计算「全程没有任何人中奖」的概率，再用1减去这个值，就能轻松得到你要的结果。

核心公式推导 #

先明确几个关键变量：

• 设单人单次中奖概率为 p（比如大乐透头奖概率约为1/21425712）
• 设每次开奖的参与人数为 n
• 设总开奖次数为 k（比如10年每周开一次，就是10×52=520次）

步骤1：计算单次开奖中，所有人都没中奖的概率
每个人单次不中奖的概率是 1-p，n个独立参与者都不中奖的概率就是各自概率的乘积：
P(单次无人中奖) = (1-p)^n

步骤2：计算k次开奖全程都没人中奖的概率
因为每次开奖是独立事件，所以k次都无人中奖的概率是单次无人中奖概率的k次方：
P(k次全无人中奖) = [(1-p)^n]^k = (1-p)^(n×k)

步骤3：计算至少有一次有人中奖的概率
用1减去「全程无人中奖」的概率，就是我们要的结果：
P(至少一人中奖) = 1 - (1-p)^(n×k)

举个实际例子 #

假设：

• 单人单次中奖概率 p=1/1000000（百万分之一）
• 每次参与人数 n=2000000（200万人）
• 10年共开奖 k=520次

代入公式：

1. 单次无人中奖概率：(1-1e-6)^2e6 ≈ 0.1353（约13.5%）
2. 520次全无人中奖概率：0.1353^520 ≈ 无限趋近于0
3. 至少一人中奖的概率：1 - 0 ≈ 100%

这就是为什么我们总能听到有人中大奖——哪怕单人概率极低，但参与人数和开奖次数足够多的时候，出现中奖者的概率几乎是必然的。

注意事项 #

• 这个公式的前提是：每次开奖相互独立，且每个参与者的中奖概率相互独立（没有作弊、合买共享中奖等特殊情况）
• 如果存在「同一个人多次参与」的情况，只要每次参与的中奖概率还是独立的，公式依然适用——因为我们关注的是「是否有人中奖」，不管这个人是重复参与的还是新参与者。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Terran