首先明确我们的目标：定义域是不含0的正自然数集 $\mathbb{N} = {1,2,3,4,...}$，值域是所有偶数整数（包括0、正偶数和负偶数）。双射要求每个自然数对应唯一的偶数，且每个偶数都有唯一的自然数对应它，我们可以通过拆分自然数为奇偶两类来分别映射，完美覆盖值域的所有部分：

具体构造方法 #

我们可以按自然数的奇偶性分情况定义函数：

• 当 $n$ 是奇数时，设 $n = 2k - 1$（其中 $k$ 是正自然数，$k \geq 1$），令 $f(n) = -2(k-1)$
  • 举几个例子验证：$n=1$（$k=1$）→ $f(1)=0$；$n=3$（$k=2$）→ $f(3)=-2$；$n=5$（$k=3$）→ $f(5)=-4$，以此类推，这部分会覆盖0和所有负偶数
• 当 $n$ 是偶数时，设 $n = 2k$（其中 $k$ 是正自然数，$k \geq 1$），令 $f(n) = 2k$
  • 例子：$n=2$（$k=1$）→ $f(2)=2$；$n=4$（$k=2$）→ $f(4)=4$；$n=6$（$k=3$）→ $f(6)=6$，这部分覆盖所有正偶数

验证双射性质 #

单射（Injective） #

假设 $f(a) = f(b)$：

• 如果 $f(a)$ 是正偶数，那么 $a$ 和 $b$ 都必须是偶数，此时 $2k_a = 2k_b$ → $k_a = k_b$ → $a=2k_a=2k_b=b$
• 如果 $f(a)$ 是非正偶数（0或负偶数），那么 $a$ 和 $b$ 都必须是奇数，此时 $-2(k_a-1) = -2(k_b-1)$ → $k_a-1=k_b-1$ → $k_a=k_b$ → $a=2k_a-1=2k_b-1=b$
  所以不存在两个不同的自然数对应同一个偶数，单射成立。

满射（Surjective） #

对于任意偶数 $x$：

• 如果 $x$ 是正偶数，设 $x=2k$（$k≥1$），那么取 $n=2k$（偶数），就有 $f(n)=2k=x$
• 如果 $x=0$，取 $n=1$（奇数），$f(1)=0=x$
• 如果 $x$ 是负偶数，设 $x=-2m$（$m≥1$），那么取 $n=2(m+1)-1=2m+1$（奇数），此时 $f(n)=-2((m+1)-1)=-2m=x$
  所以每个偶数都能找到对应的自然数，满射成立。

这样我们就构造出了满足要求的双射函数啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Brandon O'Neil