嘿，咱们来一步步解决这个问题。首先得指出你之前用根值检验法时的一个小失误：$\lim_{n\to\infty}(n!)^{1/n}$ 并不是1，这个极限实际上是趋向于正无穷的，所以咱们换个更靠谱的方法——比值检验法来分析会更清晰。

步骤1：分析绝对值级数 #

先考虑级数的绝对值形式 $\sum_{n=1}^\infty n!|x|^n$，应用比值检验法，计算相邻两项的比值极限：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!|x|^{n+1}}{n!|x|n} = \lim_{n\to\infty} (n+1)|x|
$$

步骤2：分情况讨论极限结果 #

• 当 $x=0$ 时，原级数的每一项都是 $n!\cdot0^n=0$（注意 $0^1=0$，后续项也都是0），显然级数收敛于0；
• 当 $x\neq0$ 时，$\lim_{n\to\infty}(n+1)|x| = +\infty$，根据比值检验法的规则，此时绝对值级数发散。而且原级数的通项 $n!x^n$ 当 $n\to\infty$ 时不会趋近于0（因为 $n!|x|^n$ 趋向无穷大），不满足级数收敛的必要条件，所以原级数也发散。

补充：纠正根值检验法的错误 #

你之前误以为 $\lim_{n\to\infty}(n!)^{1/n}=1$，这里可以用斯特林公式 $n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$ 来验证：
$$
(n!)^{1/n} \sim \left(\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\right){1/n} = (2\pi n)^{1/(2n)} \cdot \frac{n}{e}
$$
当 $n\to\infty$ 时，$(2\pi n)^{1/(2n)}$ 趋向于1，而 $\frac{n}{e}$ 趋向于正无穷，所以 $(n!)^{{1/n}\to+\infty$。如果用根值检验法的话，$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!|x|}n} = \lim_{n\to\infty}(n!)^{1/n}|x| = +\infty>1$（当 $x\neq0$ 时），同样得出只有 $x=0$ 时级数收敛的结论。

综上，只有当 $x=0$ 时，级数 $\sum_{n=1}^\infty n!x^n$ 收敛。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Anne