嘿，这个问题拆解开来其实很清晰，咱们用链式法则一步步捋明白：

核心推导步骤 #

• 先做变量替换：令$u = 1 - x$，我们的目标是找到$\frac{df}{du}$（函数$f$对$1-x$的导数）和$\frac{df}{dx}$（函数$f$对$x$的导数）的关联。
• 先计算$u$对$x$的导数：$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(1 - x) = -1$。
• 根据链式法则，我们有$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$，把$\frac{du}{dx}=-1$代入式子：
  $$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \times (-1)$$
• 变形后直接得到两者的关系：
  $$\frac{df}{du} = -\frac{df}{dx}$$

实际例子验证 #

拿$f(x) = x^3 + 2x$来举例：

1. 先算对$x$的导数：$\frac{df}{dx} = 3x^2 + 2$。
2. 再算对$1-x$的导数：把$f$转换成$u=1-x$的函数，$x=1-u$，所以$f(u)=(1-u)^3 + 2(1-u)$，求导得$\frac{df}{du} = -3(1-u)^2 - 2$。
3. 把$u=1-x$代回，$-3x^2 - 2$，正好是$\frac{df}{dx}$的相反数，完全符合推导结论。

说白了就是：函数对$1-x$求导的结果，等于该函数对$x$求导结果的相反数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John Smith