一、三角矩阵是否一定相似于对角矩阵？ #

答案是不一定。只有满足特定条件的三角矩阵才能相似于对角矩阵，反例很好找：比如二阶上三角矩阵 [[1, 1], [0, 1]]，它的两个特征值都是1（代数重数为2），但求解齐次方程组 (A - I)x = 0 时，解空间的维数只有1（几何重数为1），不满足相似对角化的核心条件——拥有n个线性无关的特征向量，所以这个矩阵没法相似于对角矩阵。

总结来说：当且仅当三角矩阵的每个特征值的几何重数等于代数重数时，它才相似于对角矩阵。一个常见的特例是：如果三角矩阵的所有对角元（也就是特征值）互不相同，那它必然可以相似于对角矩阵。

二、如何证明满足条件的三角矩阵与对角矩阵相似？ #

我们可以从相似对角化的充要条件出发来证明：n阶矩阵相似于对角矩阵的充要条件是，它拥有n个线性无关的特征向量。

情况1：三角矩阵的特征值互不相同 #

对于n阶三角矩阵A，它的特征值就是对角线上的元素。如果所有对角元互不相同，那么A有n个不同的特征值。而不同特征值对应的特征向量必然线性无关，所以A拥有n个线性无关的特征向量。根据相似对角化的充要条件，存在可逆矩阵P（由这些特征向量作为列向量构成），使得 P⁻¹AP = Λ，其中Λ是对角矩阵，对角元就是A的n个特征值。

情况2：特征值有重复，但几何重数等于代数重数 #

假设A是n阶三角矩阵，对于每个特征值λ，其代数重数为k，几何重数（即齐次方程组 (A - λI)x = 0 的解空间维数）也为k。那么对于每个特征值，我们都能找到k个线性无关的特征向量，且不同特征值对应的特征向量之间也线性无关。把所有这些特征向量组合起来，就能得到n个线性无关的特征向量。同样，构造可逆矩阵P（以这些特征向量为列），就可以得到 P⁻¹AP = Λ，其中Λ是对角矩阵，对角元为A的特征值（每个特征值重复的次数等于其代数重数）。

反过来，如果三角矩阵A相似于对角矩阵Λ，那么根据相似矩阵的性质，A和Λ有相同的特征值，且每个特征值的几何重数等于代数重数（因为Λ的每个特征值的几何重数等于其代数重数），这也验证了我们之前的结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者E. Ginzburg