首先我们先完成通项的化简，这是解题的关键一步：

观察分母$n! + (n+1)! + (n+2)!$，我们可以提取公因式$n!$，得到：
$$n! + (n+1)! + (n+2)! = n!\left[1 + (n+1) + (n+1)(n+2)\right]$$
计算括号内的表达式：
$$1 + n+1 + (n^2+3n+2) = n^2+4n+4 = (n+2)^2$$
因此分母化简为$n!(n+2)^2$，结合分子$n(n+1)(n+2)$，通项可以简化为：
$$\frac{n(n+1)(n+2)}{n!(n+2)^2} = \frac{n(n+1)^2}{(n+2)!}$$
注意当$n=0$时，分子为0，所以级数可以从$n=1$开始计算（不影响结果）。

接下来我们用裂项相消法来求解，核心是把通项拆成能相互抵消的项：

首先把分子$n(n+1)^2$变形为$(n+2)(n+1)n - n(n+1)$，代入通项得：
$$\frac{n(n+1)^2}{(n+2)!} = \frac{n(n+1)(n+2)}{(n+2)!} - \frac{n(n+1)}{(n+2)!}$$
第一项化简后：
$$\frac{n(n+1)(n+2)}{(n+2)!} = \frac{n(n+1)}{(n+1)!} = \frac{n}{n!} = \frac{1}{(n-1)!}$$

对于第二项$\frac{n(n+1)}{(n+2)!}$，我们继续拆分分子：$n(n+1)=(n+2)(n+1)-2(n+1)$，代入得：
$$\frac{n(n+1)}{(n+2)!} = \frac{(n+2)(n+1)}{(n+2)!} - \frac{2(n+1)}{(n+2)!} = \frac{1}{n!} - 2\left(\frac{1}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+2)!}\right)$$
这里用到了阶乘的裂项公式：$\frac{n+1}{(n+2)!} = \frac{1}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+2)!}$（通分右边即可验证）。

现在把所有拆分结果整合，通项可以写成：
$$\frac{n(n+1)^2}{(n+2)!} = \frac{1}{(n-1)!} - \frac{1}{n!} + \frac{2}{(n+1)!} - \frac{2}{(n+2)!}$$

接下来计算级数的和，我们把它拆成四个级数的和：
$$S = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n-1)!} - \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} + 2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1)!} - 2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+2)!}$$

为了方便计算，我们令$C = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$（这里不用泰勒展开定义它为e，只作为一个常数处理），然后分别转换每个级数：

• 第一个级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n-1)!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} = C$
• 第二个级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} = C - 1$（减去k=0时的项1）
• 第三个级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1)!} = \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k!} = C - 1 - 1 = C - 2$（减去k=0和k=1的项）
• 第四个级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+2)!} = \sum_{k=3}^\infty \frac{1}{k!} = C - 1 -1 - \frac{1}{2} = C - \frac{5}{2}$（减去k=0、1、2的项）

把这些代入S的表达式：
$$S = C - (C - 1) + 2(C - 2) - 2\left(C - \frac{5}{2}\right)$$
展开计算：
$$S = C - C + 1 + 2C - 4 - 2C + 5 = 2$$

最终我们得到这个无穷级数的和为2。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者chanp