嘿，我来给你几个实用的证明思路，帮你搞定这个不等式～

首先可以先做个换元简化问题：令$t = \frac{2\pi}{x}$，因为$x \geq 2$，所以$t \in (0, \pi]$，原不等式等价于：
$$\cos t \leq 1 - \frac{t^2}{4\pi2}$$
接下来提供几个可行的证明方向：

思路1：利用三角恒等式+经典三角函数不等式 #

这是最简洁的方法，步骤超直观：

1. 用二倍角公式展开左边：$\cos\left(\frac{2\pi}{x}\right) = 1 - 2\sin^2\left(\frac{\pi}{x}\right)$
2. 原不等式转化为：$1 - 2\sin^2\left(\frac{\pi}{x}\right) \leq 1 - \frac{1}{x^2}$，两边消去1后等价于：
   $$2\sin^2\left(\frac{\pi}{x}\right) \geq \frac{1}{x^2}$$
3. 用经典结论：当$\theta \in (0, \frac{\pi}{2}]$时，$\sin\theta \geq \frac{2}{\pi}\theta$（这个结论来自$f(\theta)=\frac{\sin\theta}{\theta}$在$(0, \frac{\pi}{2}]$上单调递减，所以$f(\theta) \geq f(\frac{\pi}{2})=\frac{2}{\pi}$）
4. 代入$\theta = \frac{\pi}{x}$（因为$x\geq2$，所以$\theta \in (0, \frac{\pi}{2}]$），得到：
   $$\sin\left(\frac{\pi}{x}\right) \geq \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{x} = \frac{2}{x}$$
5. 两边平方后乘2：$2\sin^2\left(\frac{\pi}{x}\right) \geq 2 \cdot \left(\frac{2}{x}\right)^2 = \frac{8}{x^2}$
6. 因为$x\geq2$，所以$\frac{8}{x^2} \geq \frac{8}{4} = 2 \geq \frac{1}{x^2}$，显然成立。

直接几步就推导出原不等式，完全不用复杂计算～

思路2：构造函数+导数分析单调性 #

如果偏好微积分的方法，可以用函数极值分析：

1. 换元后定义函数$f(t) = \cos t - 1 + \frac{t^2}{4\pi2}$，$t \in (0, \pi]$，我们需要证明$f(t) \leq 0$
2. 求一阶导数：$f'(t) = -\sin t + \frac{t}{2\pi^2}$
3. 求二阶导数：$f''(t) = -\cos t + \frac{1}{2\pi^2}$
4. 分析二阶导数的符号：
   • 当$t \in (0, t_0)$时，$\cos t > \frac{1}{2\pi^2}$（其中$t_0 = \arccos\left(\frac{1}{2\pi^2}\right) \in (0, \frac{\pi}{2})$），此时$f''(t) < 0$，$f'(t)$单调递减；
   • 当$t \in (t_0, \pi)$时，$\cos t < \frac{1}{2\pi^2}$，此时$f''(t) > 0$，$f'(t)$单调递增；
5. 分析一阶导数的极值：
   • $f'(0) = 0$，$f'(t_0)$是$f'(t)$的最小值，计算得$f'(t_0) = -\sqrt{1 - \left(\frac{1}{2\pi^2}\right)2} + \frac{t_0}{2\pi^2} < 0$；
   • $f'(\pi) = \frac{1}{2\pi} > 0$，所以存在唯一$t_1 \in (t_0, \pi)$使得$f'(t_1)=0$；
6. 分析$f(t)$的单调性：
   • 在$(0, t_1)$上$f'(t) < 0$，$f(t)$单调递减；在$(t_1, \pi)$上$f'(t) > 0$，$f(t)$单调递增；
   • 而$f(0)=0$，$f(\pi) = -1 -1 + \frac{1}{4} = -\frac{7}{4} < 0$，所以在整个$(0, \pi]$区间内$f(t) \leq 0$，原不等式成立。

思路3：泰勒级数的改进用法 #

你提到用泰勒级数效果不佳，可能是只取了前几项，其实结合区间范围可以收紧估计：

1. $\cos t$的泰勒展开为：$\cos t = 1 - \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24} - \frac{t^6}{720} + \dots$
2. 原不等式等价于：$-\frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24} - \frac{t^6}{720} + \dots \leq -\frac{t^2}{4\pi2}$，整理得：
   $$\frac{t^2}{2} - \frac{t^4}{24} + \frac{t^6}{720} - \dots \geq \frac{t^2}{4\pi2}$$
3. 因为$t \in (0, \pi]$，所以$t^2 \leq \pi^2 \approx9.87$，计算左边前两项：$\frac{t^2}{2} - \frac{t^4}{24} = t^2\left(\frac{1}{2} - \frac{t^2}{24}\right)$
4. 代入$t^2 \leq \pi^2$，得$\frac{1}{2} - \frac{t^2}{24} \geq \frac{1}{2} - \frac{\pi^2}{24} \approx0.5 - 0.411=0.089$，而$\frac{1}{4\pi^2}\approx0.0254$，显然$0.089 > 0.0254$，再加上后面的正项（交替级数且项的绝对值递减），整个左边必然大于右边，原不等式成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Drew Brady