首先，我们先把目标幂级数明确下来：
$$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^nx{3n}\frac{1\cdot 4\cdot 7\cdot ...\cdot (3n-2)}{n!\cdot 3^{n}}$$

第一步：用比值判别法求收敛半径 #

记这个幂级数的通项为：
$$a_n = (-1)^n \cdot \frac{1\cdot4\cdot7\cdot\cdots\cdot(3n-2)}{n!\cdot3^n} \cdot x^{3n}$$

我们需要计算$\lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$，先写出$a_{n+1}$的表达式：
$$a_{n+1}=(-1)^{n+1} \cdot \frac{1\cdot4\cdot7\cdot\cdots\cdot(3n-2)\cdot(3n+1)}{(n+1)!\cdot3^{n+1}} \cdot x^{3(n+1)}$$

接下来求两者比值的绝对值，消去正负号后逐步约分：
$$
\begin{align*}
\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| &= \frac{1\cdot4\cdot\cdots\cdot(3n-2)\cdot(3n+1)}{(n+1)!\cdot3^{n+1}} \cdot |x|^{3n+3} \cdot \frac{n!\cdot3^n}{1\cdot4\cdot\cdots\cdot(3n-2)} \cdot \frac{1}{|x|^{3n}} \
&= \frac{3n+1}{3(n+1)} \cdot |x|^3
\end{align*}
$$

当$n\rightarrow\infty$时，$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{3n+1}{3n+3} = 1$，所以整个极限简化为$|x|^3$。根据比值判别法，当极限小于1时级数收敛，即：
$$|x|^3 < 1 \implies |x| < 1$$
由此得到收敛半径$R=1$，接下来需要检查端点$x=1$和$x=-1$的敛散性。

第二步：检查端点$x=1$的敛散性 #

代入$x=1$，级数变为交错级数：
$$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^n \cdot \frac{1\cdot4\cdot\cdots\cdot(3n-2)}{n!\cdot3^n}$$

我们用莱布尼茨判别法判断：

1. 绝对值项的单调性：计算$\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \frac{3n+1}{3(n+1)} = \frac{3n+1}{3n+3} < 1$，说明${|a_n|}$是单调递减序列。
2. 绝对值项的极限：借助伽马函数的渐近性质（或直观推导），$\frac{1\cdot4\cdot\cdots\cdot(3n-2)}{n!\cdot3^n} \sim n^{-2/3}$，当$n\rightarrow\infty$时趋向0。

满足莱布尼茨判别法的两个条件，因此$x=1$时级数收敛。

第三步：检查端点$x=-1$的敛散性 #

代入$x=-1$，级数变为正项级数：
$$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^n (-1)^{3n} \cdot \frac{1\cdot4\cdot\cdots\cdot(3n-2)}{n!\cdot3^n} = \sum_{n=1}^{\infty } \frac{1\cdot4\cdot\cdots\cdot(3n-2)}{n!\cdot3^n}$$

比值判别法的极限为1，无法判断，我们改用拉贝判别法：
$$
\begin{align*}
\lim_{n\rightarrow\infty} n\left(1 - \frac{a_{n+1}}{a_n}\right) &= \lim_{n\rightarrow\infty} n\left(1 - \frac{3n+1}{3n+3}\right) \
&= \lim_{n\rightarrow\infty} n \cdot \frac{2}{3n+3} \
&= \frac{2}{3} < 1
\end{align*}
$$

根据拉贝判别法，当这个极限小于1时，正项级数发散，因此$x=-1$时级数发散。

最终结论 #

这个幂级数的收敛区间是$\boldsymbol{(-1, 1]}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者AlexP