嘿，你的初始推导完全正确！接下来我们可以借助奇函数的两个关键特性来拆解问题：一是奇函数在x=0处若有定义，则f(0)=0（这里函数是绝对值的组合，定义域为全体实数，x=0必然在定义域内）；二是对任意x都满足$f(-x) = -f(x)$，我们可以代入特殊值来建立方程，最终求解a和b。

步骤1：利用f(0)=0建立第一个方程 #

因为$f(x)$是奇函数，所以$f(0)=0$：
$$
f(0) = |0+a| - |0+2| + b|0+5| = |a| - 2 + 5b = 0
$$
整理得到：
$$
|a| = 2 - 5b \tag{1}
$$

步骤2：代入特殊值x=2，建立第二个方程 #

根据奇函数性质$f(-2) = -f(2)$，分别计算两边：

• 左边：$f(-2) = |-2+a| - |-2+2| + b|-2+5| = |a-2| + 3b$
• 右边：$-f(2) = -\left(|2+a| - |2+2| + b|2+5|\right) = -|a+2| + 4 - 7b$

令左右两边相等，整理得：
$$
|a-2| + |a+2| + 10b - 4 = 0 \tag{2}
$$

步骤3：联立方程求解a和b #

我们分两种情况讨论$a$的正负，结合方程(1)代入方程(2)：

情况1：$a \geq 0$ #

此时$|a|=a$，由方程(1)得$a = 2 - 5b$，代入方程(2)：
$$
|(2-5b)-2| + |(2-5b)+2| + 10b - 4 = 0
$$
化简为：
$$
|-5b| + |4-5b| + 10b - 4 = 0
$$

• 若$b \geq 0$：$|-5b|=5b$，$|4-5b|=4-5b$（因为$b \leq \frac{2}{5}$，由$a=2-5b \geq0$推导），代入后得：
  $$
  5b + 4 -5b +10b -4 = 0 \implies 10b=0 \implies b=0
  $$
  代入$a=2-5b$得$a=2$，验证：$f(x)=|x+2|-|x+2|=0$，是常值奇函数，符合要求。

• 若$b < 0$：代入后方程变为$0=0$，但验证任意x（比如$x=5$）会发现$f(-x) \neq -f(x)$，因此该子情况无解。

情况2：$a < 0$ #

此时$|a|=-a$，由方程(1)得$a = 5b - 2$，代入方程(2)：
$$
|(5b-2)-2| + |(5b-2)+2| + 10b - 4 = 0
$$
化简为：
$$
|5b-4| + |5b| + 10b - 4 = 0
$$

• 若$0 \leq b < \frac{4}{5}$：$|5b-4|=4-5b$，$|5b|=5b$，代入后得：
  $$
  4-5b +5b +10b -4 =0 \implies 10b=0 \implies b=0
  $$
  代入$a=5b-2$得$a=-2$，验证：$f(x)=|x-2|-|x+2|$，显然$f(-x)=|x+2|-|x-2|=-f(x)$，符合奇函数定义。

• 若$b < 0$或$b \geq \frac{4}{5}$：要么方程矛盾，要么验证后不满足奇函数性质，均无解。

最终结论 #

满足条件的解为$(a=2,b=0)$或$(a=-2,b=0)$，因此$a+b$的值为$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{-2}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Fricul38