嘿，这个问题是矩阵对角化判定里的核心结论之一，咱们一步步拆解证明过程，保证你能彻底搞明白～

在证明之前，先把两个核心定义掰扯清楚，避免混淆：

• 代数重数：特征值$\lambda$的代数重数，是它作为矩阵$A$特征多项式根的重数，记为$m_a(\lambda)$。简单说就是特征多项式里$(\lambda - \lambda_0)^k$的$k$值。
• 几何重数：特征值$\lambda$的几何重数，是对应特征子空间$E_\lambda = {x \mid Ax = \lambda x}$的维数，也就是齐次方程组$(A - \lambda I)x = 0$的解空间维度，记为$m_g(\lambda)$。

假设$A$是$n$阶方阵，所有互不相同的特征值为$\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_k$，且对每个$i$，都满足$m_g(\lambda_i) = m_a(\lambda_i)$。我们要证明$A$可对角化，而可对角化的等价条件是：存在一组由$A$的特征向量构成的$\mathbb{R}^{n$（或$\mathbb{C}}n$）的基，所以咱们就从构造这组基入手：

1. 构造单个特征值的特征子空间基
   对每个特征值$\lambda_i$，因为它的几何重数是$m_g(\lambda_i)$，所以我们能找到$E_{\lambda_i}$的一组基：$v_{i1}, v_{i2}, ..., v_{i,m_g(\lambda_i)}$，这组向量都是$A$的特征向量，且线性无关。

2. 组合所有特征子空间的基
   把所有特征值对应的特征子空间基放在一起，得到一组向量：
   $v_{11}, v_{12}, ..., v_{1,m_g(\lambda_1)}, v_{21}, ..., v_{k,m_g(\lambda_k)}$
   这里有个关键前置结论：不同特征值对应的特征向量是线性无关的（后面我会补充这个结论的证明，先默认它成立）。

3. 验证总向量个数等于空间维度
   特征多项式的次数是$n$，而所有特征值的代数重数之和等于$n$，也就是$\sum_{i=1}^k m_a(\lambda_i) = n$。结合题目条件$m_g(\lambda_i) = m_a(\lambda_i)$，这组向量的总个数就是$\sum_{i=1}^k m_g(\lambda_i) = n$。

4. 得出可对角化结论
   这$n$个向量线性无关（由不同特征值特征向量线性无关+子空间基线性无关可得），正好构成$n$维空间的一组基，且每个向量都是$A$的特征向量。根据可对角化的定义，取$P$为这组基作为列向量组成的矩阵，那么$P^{-1}AP$就是对角矩阵，对角元就是对应的特征值，每个特征值出现的次数等于它的代数重数。

用数学归纳法来证，严谨性拉满：

• 当$k=1$时，单个特征向量非零，显然线性无关。
• 假设对于$k-1$个不同特征值的特征向量，结论成立。现在看$k$个的情况：
  设$c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_kv_k = 0$，其中$Av_i = \lambda_i v_i$，且所有$\lambda_i$互不相同。
  用$A$左乘等式两边，得到：$c_1\lambda_1v_1 + c_2\lambda_2v_2 + ... + c_k\lambda_kv_k = 0$。
  把第一个等式乘以$\lambda_k$，再减去第二个等式，可得：
  $c_1(\lambda_k - \lambda_1)v_1 + c_2(\lambda_k - \lambda_2)v_2 + ... + c_{k-1}(\lambda_k - \lambda_{k-1})v_{k-1} = 0$。
  根据归纳假设，$v_1$到$v_{k-1}$线性无关，而$\lambda_k \neq \lambda_i$（$i=1..k-1$），所以$c_1=c_2=...=c_{k-1}=0$。
  代入最初的等式，得$c_kv_k=0$，又因为$v_k$是特征向量（非零），所以$c_k=0$。因此所有系数都为0，这$k$个向量线性无关。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MasaJuno