正态分布疑难问题：加油站11周后汽油库存低于阈值的概率求解

阿华AIGC实验室

2026-5-19

加油站汽油供应量概率计算思路与解法

嘿，我来帮你理清楚这个问题的核心逻辑，其实只要把11周后的剩余供应量拆解成固定项和随机项的组合，就能轻松用正态分布的性质求解了：

第一步：明确所有关键变量

每周常规汽油购买量：设第(i)周的购买量为(X_i)，已知(X_i \sim N(\mu=50000, \sigma^2=100002))，且每周购买量相互独立
初始汽油供应量：(S_0 = 74000)升
每周固定配送量：47000升，11周总配送量为(11 \times 47000 = 517000)升

第二步：推导11周后剩余供应量的公式

11周后的剩余供应量 = 初始供应量 + 11周总配送量 - 11周总购买量，用公式表示就是：

S₁₁ = S₀ + 11×47000 - Σ(Xᵢ) （i从1到11）

第三步：计算固定项总和

先把初始量和总配送量的固定值加起来：
(74000 + 517000 = 591000)升

第四步：分析总购买量的分布

因为多个独立正态变量的和仍然服从正态分布，所以11周总购买量(\sum_{i=1}^{11}X_i)的分布为：

均值：(11 \times 50000 = 550000)升
方差：(11 \times 10000^2 = 1100000000)，标准差为(\sqrt{11} \times 10000 \approx 33166.25)升

第五步：推导剩余供应量的分布

由于(S_{11} = 591000 - \sum_{i=1}^{11}X_i)，正态变量的线性变换（加减常数、乘以系数）仍然是正态分布，因此：
(S_{11} \sim N(\mu'=41000, \sigma'^2=1100000000))
（其中(\mu' = 591000 - 550000 = 41000)，方差和总购买量的方差一致）

第六步：计算目标概率

这里注意你问题里写的是“20000加仑”，前面单位都是升，大概率是笔误，我分两种情况计算：

情况1：目标值为20000升

计算标准Z分数：
(Z = \frac{20000 - 41000}{33166.25} \approx -0.633)
查标准正态分布表可得，(P(Z < -0.633) \approx 0.263)，也就是约26.3%的概率。

情况2：目标值确实是20000加仑

先转换单位：1加仑≈3.78541升，20000加仑≈75708.2升
计算Z分数：
(Z = \frac{75708.2 - 41000}{33166.25} \approx 1.046)
对应的概率是(P(Z > 1.046) = 1 - P(Z < 1.046) \approx 1 - 0.852 = 0.148)，也就是约14.8%的概率。