首先我们用特征线法来求解这个一阶线性偏微分方程：

给定PDE $u_x + 2xu_y = 0$，对应的特征方程组为：
$$\frac{dx}{1} = \frac{dy}{2x} = \frac{du}{0}$$

从$\frac{dx}{1} = \frac{dy}{2x}$积分可得：
$$\int 2x dx = \int dy \implies y = x^2 + C$$
即首次积分是 $y - x^2 = C$（$C$为常数）。而$\frac{du}{0}$说明$u$在每条特征线上保持常数，因此方程的通解可以表示为：
$$u(x,y) = f(y - x^2)$$
其中$f$是任意的一元可微函数。

接下来我们逐个分析三类辅助条件下的解：

(a) 辅助条件 $u(x,x^2) = 2$ #

当$y = x^2$时，$y - x^2 = 0$，代入通解可得$f(0) = 2$。这意味着只要一元函数$f$满足$f(0)=2$，对应的$u(x,y)=f(y-x^2)$就都是原PDE的解，比如：

• $u(x,y)=2$（常数函数）
• $u(x,y)=2 + (y - x^2)$
• $u(x,y)=2 + e^{y - x^2}$

这些解都满足原方程和辅助条件，因此解存在，但不唯一——所有满足$f(0)=2$的可微函数$f$对应的$u$都是有效解。

(b) 辅助条件 $u(x,x^2) = e^{-x}$ #

同样代入通解，当$y=x^{2$时，要求$f(0)=e}{-x}$。但$f$是一元函数，$f(0)$必须是一个固定的常数，而$e^{-x}$是随$x$变化的变量，这显然矛盾。因此该条件下无解，因为无法找到满足要求的可微函数$f$。

(c) 辅助条件 $u(0,y) = e^{-y}$ #

当$x=0$时，$y - x^2 = y$，代入通解可得$f(y) = e^{{-y}$。这直接唯一确定了函数$f(z)=e}{-z}$，因此原PDE的解为：
$$u(x,y) = e^{-(y - x^2)} = e^{x2 - y}$$
这个解既满足原方程，又符合辅助条件，且是唯一的——因为$f$被完全确定，没有其他自由度。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Inverse Problem