嘿，这个问题我当初学圆锥曲线旋转的时候也纠结过！咱们一步步拆解清楚，帮你理顺逻辑：

旋转坐标轴的核心目标 #

我们旋转坐标轴的根本目的，是消去圆锥曲线一般式里的交叉项（含xy的项），把方程转化为不含交叉项的标准形式，这样就能轻松判断曲线类型（椭圆、双曲线、抛物线）。

从一般式到旋转后的方程 #

圆锥曲线的一般方程是：

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

当我们将坐标轴旋转θ角后，新旧坐标的转换公式是：

• x = x'cosθ - y'sinθ
• y = x'sinθ + y'cosθ

把这两个式子代入原方程，展开整理后会得到新坐标系（x'Oy'）下的方程：

A'x'² + B'x'y' + C'y'² + D'x' + E'y' + F = 0

关键：令交叉项系数为0，而非令x'或y'为0 #

你的理解完全正确！我们要做的是让交叉项x'y'的系数B' = 0，而不是让x'或y'等于0——x'和y'是新坐标系下的变量，它们可以取任意值，我们需要的是无论x'、y'取什么值，交叉项都不存在，所以必须让它的系数为0。

推导B'并令其为0的过程 #

展开代入后，交叉项的系数B'可以整理为：

B' = B(cos²θ - sin²θ) + 2(C - A)sinθcosθ

利用三角恒等式：

• cos²θ - sin²θ = cos2θ
• 2sinθcosθ = sin2θ

代入后B'简化为：

B' = Bcos2θ + (C - A)sin2θ

现在令B' = 0，得到：

Bcos2θ + (C - A)sin2θ = 0

移项整理：

Bcos2θ = (A - C)sin2θ

两边同时除以Bsin2θ（前提是B≠0且sin2θ≠0，否则原方程本来就没有交叉项，或者旋转180度无意义），最终得到：

cot2θ = (A - C)/B

关于“令x'和y'等于0”的误解 #

你的老师可能是表述上的小失误——在推导交叉项系数时，我们只需要关注x'y'这一项的系数，其他项（比如x'²、y'²等）的推导可以暂时忽略，可能老师把这个过程简化说成“令x'和y'等于0”，但这并不是准确的说法。真正的核心是让交叉项的系数为0，这样才能彻底消去交叉项。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Azhi