首先明确原问题：

设p、q为正整数，f是定义在正实数集上且仅取正值的函数，满足$f(xf(y))=x^p y^q$，求证$p²=q$。

看你给出的证明过程，结论是正确的，但推导存在关键的逻辑跳跃，导致证明不够严谨，具体问题如下：

• 第一步，你令$x=1$得到f(f(y))=y^q后，直接断言f(y)=y^√q满足该式，但这只是方程f(f(y))=y^q的一个解，并不能直接认定f就一定是这个幂函数形式。在没有证明f是幂函数的前提下，直接假设解的形式属于循环论证，缺乏逻辑依据。
• 第二步，你令$y=1$得到f(x)=x^p，这一步存在疏漏：当$y=1$时，原式应为f(xf(1))=x^p * 1^q = x^p，这里你默认了f(1)=1，虽然f(1)=1是后续可推导的结论，但不能直接跳过系数环节，直接得出f(x)=x^p。

严谨的推导思路应该是这样的： #

1. 令$x=1$，代入原式得：f(f(y))=y^q —— (1)
2. 令$x=y=1$，代入原式得：f(f(1))=1^p * 1^q = 1，又因为$f$仅取正值，设$c=f(1)>0$，则f(c)=1 —— (2)
3. 令$y=1$，代入原式得：f(xc)=x^p。令$t=xc$（即$x=t/c$），代入得：f(t)=(t/c)^p = t^p / c^p —— (3)
4. 将(3)代入(1)的左边：f(f(y))=f(y^p / c^p) = ( (y^p / c^p) / c )^p = y^{p²} / c^{p² + p}
5. 根据(1)，这个结果等于y^q，因此对所有正实数$y$，有y^{p²} / c^{p² + p} = y^q：
   • 由于等式对所有正实数$y$成立，指数必须相等，即$p²=q$；
   • 同时系数部分1/c^{p² + p}=1，因为$p$是正整数，$p²+p>0$，且$c>0$，所以$c=1$，这也验证了f(x)=x^p是符合条件的函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Gaurang Tandon